Question

如图所示的平面直角坐标系，在△ABC中，∠A=60°，边AB在x轴上，AC交y轴于点E，AC、BC的长是关于x的方程x²-16x+64=0的两个根，且OA：OB=1：3．
（1）求点C的坐标；
（2）求直线EB的解析式；
（3）在平面内是否存在点P，使得以E、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）解方程x²-16x+64=0，可得到AC=BC=8，进而证得△ABC是等边三角形，得到AB=8，再由OA：OB=1：3，得到OA、OB的长，从而求得A、B的坐标即可求得C的坐标；
（2）应用待定系数法即可求得直线AC的解析式，从而求得E的坐标，然后再根据待定系数法即可求得；
（3）分别以E、B、C为顶点的三角形的三条边为对角线作出三个平行四边形，根据四边形的性质即可得到P的坐标．

解答：解：（1）解方程x²-16x+64=0得x₁=8，x₂=8，
∴AC=BC=8
∵∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=8，
∵OA：OB=1：3，
∴AO=

1

4

×8=2，OB=

3

4

×8=6，
∴C（2，4

3

）；

（2）∵A（-2，0），C（2，4

3

），
∴直线AC的解析式为y=

3

x+2

3

，
∴E（0，2

3

），
∵B（6，0），
设直线BE的解析式为y=kx+b，
∴

6k+b=0 b=2 3

解得

k=- 3 3 b=2 3

，
∴直线BE的解析式为y=-

3

3

x+2

3

．

（3）存在．如图，

P点的坐标分别为：（-4，6

3

），（4，-2

3

），（8，2

3

）．

点评：本题考查了利用待定系数法求直线的解析式：设直线P为：y=kx+b，然后把两个点的坐标代入确定k，b．也考查了一元二次方程的解和勾股定理以及平行四边形的性质．