Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0），下列结论：①ab＜0，②b²＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞-1时，y＞0．其中正确结论的个数是：

 

．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线的对称轴在y轴右侧得到b＞0，则ab＜0；由抛物线过（0，1）得到c=1，再根据抛物线与x轴的交点个数得到b²-4ac＞0，则b²＞4a；利用抛物线的对称性，由抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），而抛物线的对称轴在y轴右侧得到抛物线与x轴的另一个交点在点（1，0）的右侧，所以当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，加上c=1，a-b+c=0，则b=a+1，原式可计算出a+b+c=2+2a，由a＜0，可判断a+b+c＜2，即0＜a+b+c＜2；把a=b-1代入0＜a+b+c＜2可得0＜b＜1；根据函数图象可得当x＞-1时，y可能大于0也可能小于0．

解答：解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∴ab＜0，所以①正确；
∵抛物线过（0，1），
∴c=1，
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b²-4ac＞0，
∴b²-4a＞0，即b²＞4a，所以②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），而抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（1，0）的右侧，a-b+c=0，
∴当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，
∵c=1，a-b+c=0，
∴b=a+1，
∴a+b+c=a+a+1+1=2+2a，
而a＜0，
∴a+b+c＜2，
∴0＜a+b+c＜2，所以③正确；
∵a=b-1，
∴0＜b-1+b+1＜2，
∴0＜b＜1，所以④正确；
当x＞-1时，y可能大于0也可能小于0，所以⑤错误．
故答案为4个．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．