Question

【题目】（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2

（a﹣b）（a2+ab+b）＝a3﹣b3

（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4

（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）＝a5﹣b5

……

（1）根据规律可得（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+…+a2bn﹣3+abn﹣2+bn﹣1）＝　 （其中n为正整数）；

（2）仿照上面等式分解因式：a6﹣b6＝　 ；

（3）根据规律可得（a﹣1）（an﹣1+an﹣2+…+a2+a+1）＝　 （其中n为正整数）；

（4）计算：（4﹣1）（410+49+48+…+42+4+1）＝　 ；

（5）计算：（﹣2）2019+（﹣2）2018+（﹣2）2017+…+（﹣2）3+（﹣2）+1＝　 ．

Answer 1

【答案】（1）an﹣bn；（2）（a﹣b）（a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5）；（3）an﹣1；（4）411﹣1；（5）.

【解析】

（1）根据规律可得答案；
（2）仿照上面等式，按照等式左边的规律可得答案；
（3）根据（1）中规律，可得答案；
（4）根据（1）中规律，可得答案；
（5）按照（1）中规律可知：（-2-1）[（-2）2019+（-2）2018+（-2）2017+…+（-2）3+（-2）+1]=（-2）2020-1，变形计算可得答案．

解：（1）根据规律可得（a﹣b）（an-1+an﹣2b+an﹣3b2+…+a2bn﹣3+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn（其中n为正整数）；

故答案为：an﹣bn．

（2）仿照上面等式分解因式得：a6﹣b6＝（a﹣b）（a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5）；

故答案为：（a﹣b）（a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5）；

（3）根据规律可得（a﹣1）（an﹣1+an﹣2+…+a2+a+1）＝an﹣1（其中n为正整数）；

故答案为：an﹣1；

（4）计算：（4﹣1）（410+49+48+…+42+4+1）＝411﹣1；

故答案为：411﹣1；

（5）∵（﹣2﹣1）[（﹣2）2019+（﹣2）2018+（﹣2）2017+…+（﹣2）3+（﹣2）+1]＝（﹣2）2020﹣1

∴（﹣2）2019+（﹣2）2018+（﹣2）2017+…+（﹣2）3+（﹣2）+1＝＝

故答案为：．