Question

【题目】如图1，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别是BC、CD边上的点，且AE⊥EF，BE=2，

（1）求证：AE=EF；

（2）延长EF交矩形∠BCD的外角平分线CP于点P（图2），试求AE与EP的数量关系；

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) AE=EP.

【解析】分析：（1）通过证明△ABE≌△ECF即可得出结论；

（2）在AB上取一点M，使BM=BE，连接ME，通过证明△AME∽△ECP即可求得结论.

详解：（1）∵AE⊥EF，

∴∠BEA+∠CEF=90°,

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠B=∠C=90°,

∴∠BAE +∠BEA =90°,

∴∠BA E=∠CEF,

又∵AB=DC=6，BC=8，BE=2，

∴AB=EC=6,

∴△ABE≌△ECF（ASA）,

∴AE=EF.

（2）如图，在AB上取一点M，使BM=BE，连接ME.

∴AM=CE,

∴∠BME=45°,

∴∠AME=135°,

∵CP是外角平分线，

∴∠DCP=45°,

∴∠ECP=135°,

∴∠AME=∠ECP,

由（1）知∠MA E=∠CEP， ∴△AME∽△ECP.

∴ ,

∵AM=2，EC=3，

∴,

∴AE与EP的数量关系:AE=EP.