Question

【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=，求sin2α的值．

小娟是这样给小芸讲解的：

如图1，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°. 设∠BAC=α， 则sinα= = ．易得∠BOC=2α．设BC=x，则AB=3x，则AC=x．作CD⊥AB于D，求出CD=　　　　　（用含x的式子表示），可求得sin2α==　　　　　．

【问题解决】已知，如图2，点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ = ，求sin2β的值.

Answer 1

解：． 　  

sin2α==．　

如图，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作于点R．

在⊙O中，∠NMQ=90°．

∵　∠Q=∠P=β，

∴　∠MON=2∠Q=2β．   

在Rt△QMN中，

∵　sinβ =，

∴　设MN=3k，则NQ=5k，易得OM=NQ=．

∴  MQ=． 

     ∵ ，  

      ∴  ．

      ∴ MR=．     

        在Rt△MRO中，sin2β=sin∠MON =．