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【题目】(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BCaABb

填空:当点A位于   时,线段AC的长取得最大值,且最大值为   (用含ab的式子表示)

(2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC4AB2,如图2,分别以ABAC为边,作等边三角形ABD和等边△ACE,连接CDBE

请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;

直接写出线段BE长的最大值;

直接写出△DBC面积的最大值.

【答案】(1)CB的延长线上,a+b(2)①CDBE,理由见解析;②6③4.

【解析】

1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;

2)①根据等边三角形的性质得到ADABACAE,∠BAD=∠CAE60°,推出CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质得到CDBE

②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;

③作DPCB,交CB延长线于点P,当DBBC时,DP取得最大值,最大值为2,再根据三角形的面积公式求解可得.

(1)∵点A为线段BC外一动点,且BCaABb

∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+ABa+b

故答案为:CB的延长线上,a+b

(2)CDBE

理由:∵△ABDACE是等边三角形,

ADABACAE,∠BAD=∠CAE60°

∴∠BAD+BAC=∠CAE+BAC

即∠CAD=∠EAB

CADEAB中,

∴△CAD≌△EAB(SAS)

CDBE

②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值,

(1)知,当线段CD的长取得最大值时,点DCB的延长线上,

∴最大值为BD+BCAB+BC6

③如图,过点DDPCB,交CB延长线于点P

RtBDP中,DPDB

DBBC时,DP取得最大值,最大值为2

∴△DBC面积的最大值为

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