【题目】(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.
填空:当点A位于 时,线段AC的长取得最大值,且最大值为 (用含a、b的式子表示);
(2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=2,如图2,分别以AB、AC为边,作等边三角形ABD和等边△ACE,连接CD、BE.
①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;
②直接写出线段BE长的最大值;
③直接写出△DBC面积的最大值.
【答案】(1)CB的延长线上,a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②6;③4.
【解析】
(1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;
(2)①根据等边三角形的性质得到AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,推出△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质得到CD=BE;
②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;
③作DP⊥CB,交CB延长线于点P,当DB⊥BC时,DP取得最大值,最大值为2,再根据三角形的面积公式求解可得.
(1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b,
∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b,
故答案为:CB的延长线上,a+b;
(2)①CD=BE,
理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形,
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠CAD=∠EAB,
在△CAD与△EAB中,
∵
∴△CAD≌△EAB(SAS),
∴CD=BE;
②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值,
由(1)知,当线段CD的长取得最大值时,点D在CB的延长线上,
∴最大值为BD+BC=AB+BC=6;
③如图,过点D作DP⊥CB,交CB延长线于点P,
在Rt△BDP中,DP<DB,
当DB⊥BC时,DP取得最大值,最大值为2,
∴△DBC面积的最大值为
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,AB=7,EF=3,则BC长为( )
A.9
B.10
C.11
D.12
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【题目】如图,折线ABCDE描述了一辆汽车在某一直线上行驶过程中,汽车离出发地的距离y(km)和行驶时间x(h)之间的函数关系,根据图中提供的信息,给出下列说法:①汽车共行驶了120km;②汽车在行驶途中停留了0.5h;③汽车在整个行驶过程中的平均速度为km/h;④汽车自出发后3h~4.5h之间行驶的速度在逐渐减小.其中正确的说法是 .(填上所有正确的序号)
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【题目】(1)如图1,在Rt△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,若直线EF垂直平分BC,请你利用尺规画出直线EF;
(2)若点P在(1)中BC的垂直平分线EF上,请直接写出PA+PB的最小值,回答PA+PB取最小值时点P的位置并在图中标出来;
解:PA+PB的最小值为 ,PA+PB取最小值时点P的位置是 ;
(3)如图2,点M,N分别在直线AB两侧,在直线AB上找一点Q,使得∠MQB=∠NQB.要求画图,并简要叙述确定点Q位置的步骤(无需尺规作图,保留画图痕迹,无需证明)
解:确定点Q位置的简要步骤: .
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,A(1,2)、B(3,1)、C(﹣2,﹣1)
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)写出A1、B1、C1的坐标;
(3)求△A1B1C1的面积.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D,点E为BC的中点,连接DE.
(1)求证:DE是半圆⊙O的切线.
(2)若∠BAC=30°,DE=2,求AD的长.
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【题目】综合题:探索发现
(1)自主阅读:在三角形的学习过程,我们知道三角形一边上的中线将三角形分成了两个面积相等三角形,原因是两个三角形的底边和底边上的高都相等,在此基础上我们可以继续研究:如图1,AD∥BC,连接AB,AC,BD,CD,则S△ABC=S△BCD .
证明:分别过点A和D,作AF⊥BC于F.DE⊥BC于E,由AD∥BC,可得AF=DE,又因为S△ABC= ×BC×AF,S△BCD= .
所以S△ABC=S△BCD
由此我们可以得到以下的结论:像图1这样
(2)问题解决:如图2,四边形ABCD中,AB∥DC,连接AC,过点B作BE∥AC,交DC延长线于点E,连接点A和DE的中点P,请你运用上面的结论证明:SABCD=S△APD
(3)应用拓展:
如图3,按此方式将大小不同的两个正方形放在一起,连接AF,CF,若大正方形的面积是80cm2 , 则图中阴影三角形的面积是cm2 .
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