Question

15．观察下列各式，回答问题
1²+3²+4²=2×（1²+3²+3）
2²+3²+5²=2×（2²+3²+6）
3²+6²+9²=2×（3²+6²+18）
（1）小明用a、b、c表示等式左边由小到大的三个数，你能发现c与a、b的关系吗？
（2）你能发现等式右边括号内的是三个数与a，b之间的关系吗？请用字母a、b写出你发现的等式，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）观察下列各式1²+3²+4²=2×（1²+3²+3）得：1+3=4，2²+3²+5²=2×（2²+3²+6）得2+3=5，3²+6²+9²=2×（3²+6²+18）得3+6=9，因此发现a+b=c
（2）观察发现3=1×3，6=2×3，18=3×6，因此a²+b²+（a+b）²=2×（a²+b²+ab），证明过程只需要利用完全平方公式展开，合并同类项即可得出答案．

解答 解：（1）观察下列各式
1²+3²+4²=2×（1²+3²+3）得：1+3=4
2²+3²+5²=2×（2²+3²+6）得2+3=5
3²+6²+9²=2×（3²+6²+18）得3+6=9
用a、b、c表示等式左边由小到大的三个数
得：a+b=c
∴c与a、b的关系为：c=a+b
（2）总结发现：a²+b²+（a+b）²=2×（a²+b²+ab）
证明如下：
a²+b²+（a+b）²
=a²+b²+a²+b²+2ab
=2a²+2b²+2ab
=2（a²+b²+ab）

点评 题目考查了规律型等式的归纳，考查学生发现问题和解决问题的能力，另外也要求学生对完全平方公式及合并同类项知识点掌握熟练，题目整体设计较好．