Question

3．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-4，0），点B（0，4），将△ABO）绕点O顺时针旋转，得△A′B′O，记旋转角为α，直线AA′与直线BB′相交于点P．
（Ⅰ）如图①，当0°＜α＜90°时，求证：AP⊥BP；
（Ⅱ）如图②，当90°＜α＜180°时，求证：AP⊥BP；
（Ⅲ）求点P的纵坐标的最大值与最小值（直接写出结果即可）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如图①，根据旋转的性质得OA=OA′=OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′=α，∠A′OB′=∠AOB=90°，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠OA′A=∠OB′B=90°-$\frac{1}{2}$α，利用邻补角得∠OA′P+∠OA′A=180°，所以∠OB′B+∠OA′P=180°，则利用四边形内角和可得到∠A′PB+∠A′OB′=180°，于是得到∠A′PB=90°，所以AP⊥BP；
（Ⅱ）如图②，由（Ⅰ）得∠OAA′=∠OBB′=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，在△AOC和△BCP中利用三角形内角和易得∠AOC=∠CPB=90°，所以AP⊥BP；
（Ⅲ）由于∠BPA=90°，根据圆周角定理的推论得点P在以AB为直径的圆上，取AB的中点E，过点E作直径PP′⊥x轴交x轴于F点，如图①，此时P点的纵坐标最大，点P′的纵坐标最小，根据等腰直角三角形的性质得AB=4$\sqrt{2}$，则EP=EP′=2$\sqrt{2}$，再计算出EF=$\frac{1}{2}$OA=2，所以FP=2$\sqrt{2}$+2，FP′=2$\sqrt{2}$-2，于是可得到P的纵坐标的最大值为2+2$\sqrt{2}$，最小值为2-2$\sqrt{2}$．

解答 解：（Ⅰ）如图①，∵点A（-4，0），点B（0，4），
∴OA=OB=4，
∵△ABO绕点O顺时针旋转，得△A′B′O，
∴OA=OA′=OB=OB′，∠AOA′=∠BOB′=α，∠A′OB′=∠AOB=90°，
∴∠OA′A=∠OB′B=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∵∠OA′P+∠OA′A=180°，
∴∠OB′B+∠OA′P=180°，
在四边形OA′PB中，∵∠A′PB+∠A′OB′+∠OB′B+∠OA′P=360°，
∴∠A′PB+∠A′OB′=180°，
∴∠A′PB=90°，
∴AP⊥BP；
（Ⅱ）如图②，
由（Ⅰ）得∴∠OAA′=∠OBB′=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
在△AOC和△BCP中，∵∠ACO=∠BCP，
∴∠AOC=∠CPB=90°，
∴AP⊥BP；
（Ⅲ）∵∠BPA=90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，
取AB的中点E，过点E作直径PP′⊥x轴交x轴于F点，如图①，此时P点的纵坐标最大，点P′的纵坐标最小，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=4$\sqrt{2}$，
∴EP=EP′=2$\sqrt{2}$，
∵EF⊥OA，
∴EF=$\frac{1}{2}$OA=2，
∴FP=2$\sqrt{2}$+2，FP′=2$\sqrt{2}$-2，
∴P点的纵坐标为2+2$\sqrt{2}$，点P′的纵坐标为2-2$\sqrt{2}$，
即点P的纵坐标的最大值为2+2$\sqrt{2}$，最小值为2-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、旋转的性质和等腰三角形的性质；会运用三角形内角和定理计算角度；利用垂直的定义计算两直线垂直．