Question

6．如图1，直线AB上，点P在A、B两点之间，点M为线段PB的中点，点N为线段AP的中点，若AB=m，且m为关于x的方程3x+8=2（x+m）的解．
（1）求线段AB的长；
（2）试说明线段MN的长与点P在线段AB上的位置无关；
（3）如图2，若C点为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，$\frac{PA+PB}{PC}$的值是否受化？若不变，请求其值．

Answer 1

分析 （1）将x=m代入方程得到关于m的一元一次方程，从而可求得m的值；
（2）根据线段中点的定义可知PN=$\frac{1}{2}AP$，PM=$\frac{1}{2}PB$，从而得到MN=$\frac{1}{2}$（PA+PB）=$\frac{1}{2}AB$；
（3）先求得PB+PA的长，然后再求得PC的长，最后代入计算即可．

解答 解：（1）将x=m代入得：3m+8=4m．
解得：m=8．
故AB=8．
（2）∵M为线段PB的中点，
∴PM=$\frac{1}{2}PB$．
同理：PN=$\frac{1}{2}AP$．．
∴MN=PN+PM=$\frac{1}{2}$（PB+AP）=$\frac{1}{2}×8$=4．
∴线段MN的长与点P在线段AB上的位置无关．
（3）不变．
理由：设AB=a，BP=b．则PA+PB=a+b+b=a+2b．
∵C是AB的中点，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}a$．
∴PC=PB+BC=$\frac{1}{2}a+b$．
∴$\frac{PA+PB}{PC}$=$\frac{a+2b}{\frac{1}{2}a+b}$=2．

点评 本题主要考查的是两点间的距离，掌握线段中点的定义是解题的关键．