Question

9．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A、B两点，下列结论：
①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am²+bm；④a-b+c＞0；⑤若ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，且x₁≠x₂，则x₁+x₂=2；⑥OA•OB=$\frac{c}{a}$；
其中正确的有（　　）

• A． 3个
• B． 2个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=1，得到b=-2a＞0，即2a+b=0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x=1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am²+bm+c，即a+b＞am²+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（-1，0）的右侧，则当x=-1时，y＜0，所以a-b+c＜0；把ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂先移项，再分解因式得到（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0，而x₁≠x₂，则a（x₁+x₂）+b=0，即x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，然后把b=-2a代入计算得到x₁+x₂=2；设A（x₁，0），B（x₂，0），根据抛物线和方程的关系得出x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，即可求得OA•OB=-x₁•x₂=-$\frac{c}{a}$．

解答 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=-2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am²+bm+c，即a+b＞am²+bm，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（-1，0）的右侧
∴当x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，所以④错误；
∵ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，
∴ax₁²+bx₁-ax₂²-bx₂=0，
∴a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+b（x₁-x₂）=0，
∴（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0，
而x₁≠x₂，
∴a（x₁+x₂）+b=0，即x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，
∵b=-2a，
∴x₁+x₂=2，所以⑤正确；
设A（x₁，0），B（x₂，0），
∴x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．
∵OA=-x₁，OB=x₂，
∴OA•OB=-x₁•x₂=-$\frac{c}{a}$，所以⑥错误．
故选：A．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．