Question

【题目】如图，已知△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，点D在线段AC上．

（1）求∠DCE的度数；

（2）当点D在线段AC上运动时（D不与A重合），请写出一个反映DA，DC，DB之间关系的等式，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2BD2=DA2+DC2，见解析

【解析】

（1）只要证明△ABD≌△CBE（SAS），推出∠A=∠ACB=∠BCE=45°即可解决问题；

（2）存在，2BD2=DA2+DC2；在Rt△DCE中，利用勾股定理证明即可．

（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，∠A=∠ACB=45°，

同理可得：DB=BE，∠DBE=90°，∠BDE=∠BED=45°，

∴∠ABD=∠CBE，

在△ABD与△CBE中，

AB=BC，∠ABD=∠CBE，DB=BE，

∴△ABD≌△CBE（SAS），

∴∠A=∠BCE=45°

∴∠DCE=∠ACB+∠BCE=90°．

（2）2BD2=DA2+DC2．

证明如下：

∵△BDE是等腰直角三角形，

∴DE=BD，

∴DE2=2BD2，

∵△ABD≌△CBE，

∴AD=CE，

∴DE2=DC2+CE2=AD2+CD2，

故2BD2=AD2+CD2．