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【题目】如图,在平面直角坐标系内,点O为坐标原点,经过A(-26)的直线交x轴正半轴于点B,交y轴于点COB=OC,直线ADx轴负半轴于点D,若ABD的面积为27

1)求直线AD的解析式;

2)横坐标为m的点PAB上(不与点AB重合),过点Px轴的平行线交AD于点E,设PE的长为yy≠0),求ym之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围;

3)在(2)的条件下,在x轴上是否存在点F,使PEF为等腰直角三角形?若存在求出点F的坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】1y=2x+10;(2y=m+3-2m4);(3)存在,点F的坐标为(0)(-0)(-0)

【解析】

1)根据直线ABx轴正半轴于点B,交y轴于点COB=OC,设出解析式为y=-x+n,把A的坐标代入求得n的值,从而求得B的坐标,再根据三角形的面积建立方程求出BD的值,求出OD的值,从而求出D点的坐标,直接根据待定系数法求出AD的解析式;

2)先根据BA的坐标求出直线AB的解析式,将P点的横坐标代入直线AB的解析式,求出P的总坐标,将P点的总坐标代入直线AD的解析式就可以求出E的横坐标,根据线段的和差关系就可以求出结论;

3)要使PEF为等腰直角三角形,分三种情况分别以点PEF为直角顶点,根据等腰直角三角形的性质求出(2)中m的值,就可以求出F点的坐标.

1)∵OB=OC

∴设直线AB的解析式为y=-x+n

∵直线AB经过A-26),

2+n=6

n=4

∴直线AB的解析式为y=-x+4

B40),

OB=4

∵△ABD的面积为27A-26),

SABD=×BD×6=27

BD=9

OD=5

D-50),

设直线AD的解析式为y=ax+b

解得

∴直线AD的解析式为y=2x+10

2)∵点PAB上,且横坐标为m

Pm-m+4),

PEx轴,

E的纵坐标为-m+4

代入y=2x+10得,-m+4=2x+10

解得x=

E-m+4),

PE的长y=m-=m+3

y=m+3,(-2m4),

3)在x轴上存在点F,使PEF为等腰直角三角形,

①当∠FPE=90°时,如图①,

PF=PEPF=-m+4PE=m+3

-m+4=m+3

解得m=,此时F0);

②当∠PEF=90°时,如图②,有EP=EFEF的长等于点E的纵坐标,

EF=-m+4

∴∴-m+4=m+3

解得:m=

∴点E的横坐标为x==-

F-0);

③当∠PFE=90°时,如图③,有 FP=FE

∴∠FPE=FEP

∵∠FPE+EFP+FEP=180°

∴∠FPE=FEP=45°

FRPE,点R为垂足,

∴∠PFR=180°-FPE-PRF=45°

∴∠PFR=RPF

FR=PR

同理FR=ER

FR=PE

∵点R与点E的纵坐标相同,

FR=-m+4

-m+4=m+3),

解得:m=

PR=FR=-m+4=-+4=

∴点F的横坐标为-=-

F-0).

综上,在x轴上存在点F使PEF为等腰直角三角形,点F的坐标为(0)或(-0)或(-0).

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