【题目】如图,在平面直角坐标系内,点O为坐标原点,经过A(-2,6)的直线交x轴正半轴于点B,交y轴于点C,OB=OC,直线AD交x轴负半轴于点D,若△ABD的面积为27.
(1)求直线AD的解析式;
(2)横坐标为m的点P在AB上(不与点A,B重合),过点P作x轴的平行线交AD于点E,设PE的长为y(y≠0),求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,在x轴上是否存在点F,使△PEF为等腰直角三角形?若存在求出点F的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=2x+10;(2)y=m+3(-2<m<4);(3)存在,点F的坐标为(,0)或(-,0)或(-,0)
【解析】
(1)根据直线AB交x轴正半轴于点B,交y轴于点C,OB=OC,设出解析式为y=-x+n,把A的坐标代入求得n的值,从而求得B的坐标,再根据三角形的面积建立方程求出BD的值,求出OD的值,从而求出D点的坐标,直接根据待定系数法求出AD的解析式;
(2)先根据B、A的坐标求出直线AB的解析式,将P点的横坐标代入直线AB的解析式,求出P的总坐标,将P点的总坐标代入直线AD的解析式就可以求出E的横坐标,根据线段的和差关系就可以求出结论;
(3)要使△PEF为等腰直角三角形,分三种情况分别以点P、E、F为直角顶点,根据等腰直角三角形的性质求出(2)中m的值,就可以求出F点的坐标.
(1)∵OB=OC,
∴设直线AB的解析式为y=-x+n,
∵直线AB经过A(-2,6),
∴2+n=6,
∴n=4,
∴直线AB的解析式为y=-x+4,
∴B(4,0),
∴OB=4,
∵△ABD的面积为27,A(-2,6),
∴S△ABD=×BD×6=27,
∴BD=9,
∴OD=5,
∴D(-5,0),
设直线AD的解析式为y=ax+b,
∴,
解得.
∴直线AD的解析式为y=2x+10;
(2)∵点P在AB上,且横坐标为m,
∴P(m,-m+4),
∵PE∥x轴,
∴E的纵坐标为-m+4,
代入y=2x+10得,-m+4=2x+10,
解得x=,
∴E(,-m+4),
∴PE的长y=m-=m+3;
即y=m+3,(-2<m<4),
(3)在x轴上存在点F,使△PEF为等腰直角三角形,
①当∠FPE=90°时,如图①,
有PF=PE,PF=-m+4PE=m+3,
∴-m+4=m+3,
解得m=,此时F(,0);
②当∠PEF=90°时,如图②,有EP=EF,EF的长等于点E的纵坐标,
∴EF=-m+4,
∴∴-m+4=m+3,
解得:m=.
∴点E的横坐标为x==-,
∴F(-,0);
③当∠PFE=90°时,如图③,有 FP=FE,
∴∠FPE=∠FEP.
∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°,
∴∠FPE=∠FEP=45°.
作FR⊥PE,点R为垂足,
∴∠PFR=180°-∠FPE-∠PRF=45°,
∴∠PFR=∠RPF,
∴FR=PR.
同理FR=ER,
∴FR=PE.
∵点R与点E的纵坐标相同,
∴FR=-m+4,
∴-m+4=(m+3),
解得:m=,
∴PR=FR=-m+4=-+4=,
∴点F的横坐标为-=-,
∴F(-,0).
综上,在x轴上存在点F使△PEF为等腰直角三角形,点F的坐标为(,0)或(-,0)或(-,0).
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【题目】某旅游风景区出售一种纪念品,该纪念品的成本为元/个,这种纪念品的销售价格为(元/个)与每天的销售数量(个)之间的函数关系如图所示.
(1)求与之间的函数关系式;
(2)销售价格定为多少时,每天可以获得最大利润?并求出最大利润.
(3)“十一”期间,游客数量大幅增加,若按八折促销该纪念品,预计每天的销售数量可增加,为获得最大利润,“十一”假期该纪念品打八折后售价为多少?
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【题目】(2013年四川泸州8分)如图,为了测出某塔CD的高度,在塔前的平地上选择一点A,用测角仪测得塔顶D的仰角为30°,在A、C之间选择一点B(A、B、C三点在同一直线上).用测角仪测得塔顶D的仰角为75°,且AB间的距离为40m.
(1)求点B到AD的距离;
(2)求塔高CD(结果用根号表示).
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=15,BC=9,点P是线段AC上的一个动点,连接BP,将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD,连接AD,则线段AD的最小值是______.
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【题目】如图,已知△ABC和△DBE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠DBE=90°,点D在线段AC上.
(1)求∠DCE的度数;
(2)当点D在线段AC上运动时(D不与A重合),请写出一个反映DA,DC,DB之间关系的等式,并加以证明.
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【题目】一块直角三角形的木板,它的一条直角边AC长为1.5米,面积为1.5平方米.现在要把它加工成一个正方形桌面,甲、乙两人的加工方法分别如图(ⅰ)、(ⅱ)所示,记两个正方形面积分别为S1、S2,请通过计算比较S1与S2的大小.
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【题目】某经销商从市场得知如下信息:
某品牌空调扇 | 某品牌电风扇 | |
进价(元/台) | 700 | 100 |
售价(元/台) | 900 | 160 |
他现有40000元资金可用来一次性购进该品牌空调扇和电风扇共100台,设该经销商购进空调扇台,空调扇和电风扇全部销售完后获得利润为元.
(1)求关于的函数解析式;
(2)利用函数性质,说明该经销商如何进货可获利最大?最大利润是多少元?
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【题目】如图,△ABC是等边三角形,AC上有一点D,分别以BD为边作等边△BDE和等腰△BDF,边BC、DE交于点H,点F在BA延长线上且DB=DF,连接CE.
(1)若AB=8,AD=4,求△BDF的面积;
(2)求证:BC=AF+CE.
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【题目】已知二次函数的图象如图所示,则关于的一元二次方程的根为________;不等式的解集是________;当________时,随的增大而减小.
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