Question

【题目】如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．

①写出点M′的坐标；

②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）S=-m2+m，最大值为；（3）①（，），②45°.

【解析】

（1）令x=0代入y=﹣3x+3，

∴y=3，

∴B（0，3），把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，

∴3=a+4，

∴a=﹣1，

∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；

（2）当y=0时，0=﹣x2+2x+3，

∴x=﹣1或3，

∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，

∴0＜m＜3，

令y=0代入y=3x+3，

∴x=1，

∴A的坐标为(1,0)，

由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），

S=S四边形OAMBS△AOB=S△OBM+S△OAMS△AOB=×m×3+×1×(﹣m2+2m+3)×1×3= (m)2+

∴当m=时,S取得最大值.

（3）①由（2）可知：M′的坐标为（，）；

②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F根据题意知：d1+d2=BF，

∵∠BFM′=90°，

∴点F在以BM′为直径的圆上，设直线AM′与该圆相交于点H，

∵点C在线段BM′上，

∴F在优弧BM′H上，

∴当F与M′重合时，BF可取得最大值，此时BM′⊥l1，

∵A（1，0），B（0，3），M′（，），

∴由勾股定理可求得：AB=，M′B=，M′A=，

过点M′作M′G⊥AB于点G，设BG=x，

∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，

∴﹣（﹣x）2=﹣x2，

∴x=，

cos∠M′BG=，

∵l1∥l′，

∴∠BCA=90°，∠BAC=45°.