Question

如图，已知Rt△ABC中，AB=5，BC=3，在线段AB上取一点D，作DE⊥AB交AC于E，将△ADE沿DE折叠，设点A落在线段BD上的对应点为A₁，又设DA₁的中点为F，若△FEA₁∽△FBE，则AD等于（　　）

• A、

  8

  5

• B、

  4

  5

• C、

  9

  4

• D、

  9

  8

Answer 1

考点：相似三角形的性质,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：利用勾股定理列式求出AC，设AD=2x，得到DA₁=AD=2x，DF=A₁F=x，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出EF，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值，从而可得AD的值．

解答：解：∵Rt△ABC中，AB=5，BC=3，
∴AC=

AB2-BC2

=4，
设AD=2x，则DA₁=AD=2x，
∵DA₁的中点为F，
∴DF=A₁F=x，
∵∠ADE=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴

AD

AC

=

DE

BC

，
∴

2x

4

=

DE

3

，
解得：DE=

3x

2

，
∴EF=

DF2+DE2

=

13 x

2

，FB=AB-AF=5-3x，
∵△FEA₁∽△FBE，
∴

EF

BF

=

FA1

EF

，
∴EF²=FA₁•FB，
∴（

13 x

2

）²=x•（5-3x），
解得：x=

4

5

，
∴AD=

8

5

．
故选A．

点评：本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．