Question

14．如图，D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC内的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
（1）求证：四边形DGFE是平行四边形；
（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）

Answer 1

分析 （1）首先利用三角形中位线的性质得出DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，同理，GF∥BC，GF=$\frac{1}{2}$BC，即可得出DE∥GF，DE=GF即可得出四边形DGFE是平行四边形；
（2）OA=BC时四边形DGFE是菱形，利用（1）中所求，只要邻边再相等即可得出答案．

解答 （1）证明：∵D、E分别是边AB、AC的中点．
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC．
同理，GF∥BC，GF=$\frac{1}{2}$BC．
∴DE∥GF，DE=GF．
∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）OA=BC时四边形DGFE是菱形，
理由如下：
连接OA．由（1）得出四边形DEFG是平行四边形，
∴AO=BC，
∴GD=$\frac{1}{2}$AO，GF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DG=GE，
∴平行四边形DEFG是菱形．

点评 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记的定理和性质是解题的关键．