Question

【题目】如图1，二次函数yx2+bx+c的图象过A(5，0)和B(0，)两点，射线CE绕点C(0，5)旋转，交抛物线于D，E两点，连接AC．

（1）求二次函数yx2+bx+c的表达式；

（2）连接OE，AE，当△CEO是以CO为底的等腰三角形时，求点E的坐标和△ACE的面积；

（3）如图2，射线CE旋转时，取DE的中点F，以DF为边作正方形DFMN．当点E和点A重合时，正方形DFMN的顶点M恰好落在x轴上．

①求点M的坐标；

②当点E和点A重合时，将正方形DFMN沿射线CE方向以每秒个单位长度平移．设运动时间为t秒．直接写出正方形DFMN落在x轴下方的面积S与时间t(0≤t≤4)的函数表达式．

Answer 1

【答案】（1）yx2+2x；（2）点E(4，)；△ACE的面积是；（3）①点M的坐标为(1，0)；②S．

【解析】

（1）把A(5，0)和B(0，)两点代入解析式，利用待定系数法求解即可，

（2）△CEO是以CO为底的等腰三角形时，可得点E、B关于抛物线对称轴对称．从而可得的坐标，再利用可得答案，

（3） ①求解直线AC的表达式为：y=﹣x+5，利用对角线DM与AC的夹角为45°，得到 从而利用D的坐标，得到M的坐标，②设正方形MFDN平移后为M'F'D'N'，分两种情况讨论即可得到答案．

解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：

，

解得，

故抛物线的表达式为：yx2+2x①；

（2）当C(0，5)，△CEO是以CO为底的等腰三角形时，

则OC的中点(0，)的纵坐标和点E的纵坐标相同，

而点B(0，)，即点E、B关于抛物线对称轴对称．

∵抛物线的对称轴为直线x=2，

故点E的坐标为(4，)；

OC|xE|OA|yE|

5×45

（3）①∵OA=OC=5，∴∠CAO=45°．

正方形DFMN，

对角线DM与AC的夹角为45°，

∴∠DMA=90°，即DM⊥x轴，

即点D、M的横坐标相同，

由A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y=﹣x+5②，

联立①，②并解得：x=1或5(舍去5)，

故x=1，故点D(1，4)，

∴点M的坐标为(1，0)；

②设正方形MFDN平移后为M'F'D'N'，如图1，2所示；

由A、D的坐标得：DA4，

∵点F是AD的中点，故DA=2，即正方形MFDN的边长为2，

∴正方形MFDN的面积为S1=(2)2=8；

(Ⅰ)当0≤t≤2时，如图1所示，设M'F'交x轴于点H．

∵t秒时，正方形平移的距离为t，

∴MM't=M'H，

∴S=S△M'MHMM'M'H(t)2=t2；

(Ⅱ)当2＜t≤4时，如图2所示，设N'D'交x轴于点H．

∵t秒时，正方形平移的距离为t，则DD't，

∴AD'=AD﹣DD'=4t=HD'，

∴S=S1﹣S△AD'H=8AD'×HD'=8=﹣t2+8t﹣8，

综上，S．