Question

2．已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形．
（2）若AF=14，DF=13，AD=15，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）先证得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD，从而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，因为BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可证得结论．
（2）由平行四边形的性质得出BD=AF=14，AB=DF=13，设BE=x，则DE=14-x，由勾股定理得出方程，解方程得出BE，再由勾股定理求出AE，即可得出AC的长．

解答 （1）证明：∵BD垂直平分AC，
∴AB=BC，AD=DC，
在△ADB与△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{AD=DC}\\{DB=DB}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CDB（SSS）
∴∠BCD=∠BAD，
∵∠BCD=∠ADF，
∴∠BAD=∠ADF，
∴AB∥FD，
∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
（2）解：∵四边形ABDF是平行四边形，
∴BD=AF=14，AB=DF=13，
设BE=x，则DE=14-x，由勾股定理得：
∴AB²-BE²=AD²-DE²，
即13²-x²=15²-（14-x）²
解得：x=5，
即BE=5，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴AC=2AE=24．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；本题有一定难度，特别是（2）中，运用勾股定理得出方程求出BE是解决问题的关键．