Question

10．如图1，直线l₁：y=$\frac{1}{2}$x+1与l₂：y=-2x+6相交于点C，直线l₁分别与x轴、y轴相交于点A、D，直线l₂分别与x轴、y轴交于点B、E．

（1）填空：①线段AB=5；②点C的坐标为（2，2）；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）直线l₁向上平移几个单位后，以点A、B、E、D为顶点的图形是轴对称图形？（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）由直线的解析式求得A（-2，0），D（0，1），B（3，0），E（0，6），从而求得OA=2，OB=3，即可求得AB=5，解析式联立方程，解方程即可求得C的坐标；
（2）根据勾股定理分别求得AC、BC、AB的长，根据勾股定理的逆定理即可证得结论；
（3）求得平移后的A点的坐标，然后根据勾股定理求得BE，根据轴对称的性质可知AB=BE，据此即可求得直线l₁向上平移的单位．

解答 解：（1）如图1，由直线l₁：y=$\frac{1}{2}$x+1可知A（-2，0），D（0，1），由y=-2x+6可知B（3，0），E（0，6），
∴OA=2，OB=3，
∴AB=5；
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=-2x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴C（2，2）
故答案为（2，2）．
（2）如图1，∵A（-2，0），B（3，0），C（2，2），
∴AC²=（2+2）²+（2+0）²=20，BC²=（3-2）²+（0-2）²=5，AB²=25，
∴AC²+BC²=AB²=25，
∴△ABC是直角三角形；
（3）设直线l₁向上平移b个单位后的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1+b，
此时D（0，1+b），A（-2-2b，0），
∴OA=2+2b，
∵以点A、B、E、D为顶点的图形是轴对称图形，
∴AB=BE，
∵B（3，0），E（0，6），
∴AB=3+2+2b=5+2b，BE=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴5+2b=3$\sqrt{5}$，
∴b=$\frac{3\sqrt{5}-5}{2}$．
∴直线l₁向上平移$\frac{3\sqrt{5}-5}{2}$个单位后，以点A、B、E、D为顶点的图形是轴对称图形．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两直线的交点直角三角形的判定，勾股定理的应用，轴对称图形的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键．