Question

9．如图，在ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，M、N分别是AC、AB上的点，且∠A和∠NDM互补．
（1）当∠A=60°，如图1，线段BN、MC、AB之间的数量关系是BN+CM=$\frac{1}{2}$AB；
（2）当∠A=90°，如图2，求证：BN+MC=AB；
（3）在（2）的条件下，若CM=3，BN=1，设线段MD交直线AB于点E，求EN的长．

Answer 1

分析 （1）过D作DG∥AB交AC于G，由点D是BC的中点，得到DG=$\frac{1}{2}$AB，∠DGM=60°，证得△BND≌△GMD，根据全等三角形的性质得到BN=GM，即可得到结论；
（2）连接AD，由BD=CD，得到∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=∠C=∠BAD=45°，推出△AND≌△CMD，根据全等三角形的性质得到AN=CM，于是得到结论；
（3）连接MN，AD，通过△BDN≌△ADM，由全等三角形的性质得到DN=DM，于是得到△MND是等腰直角三角形，根据勾股定理得到MN=$\sqrt{10}$，可得$DN=DM=\sqrt{5}$，设AE=x，EM=$\sqrt{A{E}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，由勾股定理列方程DN²+DE²=NE²，即可得到结论．

解答 解：（1）BN+CM=$\frac{1}{2}$AB；
如图1，过D作DG∥AB交AC于G，
∵点D是BC的中点，
∴DG=$\frac{1}{2}$AB，∠DGM=60°，
∵∠A+∠NDM=180°，
∴∠BND=∠GMD，∠B=∠DGM=60°，BD=DG=$\frac{1}{2}$AB，
在△BND与△GMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BND=∠GMD}\\{∠B=∠DGM}\\{BD=DG}\end{array}\right.$，
∴△BND≌△GMD，
∴BN=GM，
∴BN+CM=GM+CM=$\frac{1}{2}$AB；
故答案为：BN+CM=$\frac{1}{2}$AB；

（2）如图2，连接AD，
∵BD=CD，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=∠C=∠BAD=45°，
∴AD=CD，
∵∠ADC=90°，∠NDM=90°，
∴∠NDM-∠ADM=∠ADC-∠ADM，
即∠ADN=∠CDM，
在△AND与△CMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠NDM}\\{∠ADN=∠CDM}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△AND≌△CMD，
∴AN=CM，
∴BN+CM=AB；

（3）如图3，连接MN，AD，
∴AD=BD=CD，∠BAD=∠B=∠C=45°，∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠ADM=∠BDN，
在△BDN与△ADM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DAM}\\{BD=AD}\\{∠BDN=∠ADM}\end{array}\right.$，
∴△BDN≌△ADM，
∴DN=DM，
∴△MND是等腰直角三角形，
∵BN=1，CM=3，
∴AN=3，AM=1，
∴MN=$\sqrt{10}$，
∴$DN=DM=\sqrt{5}$，
设AE=x，
∴EM=$\sqrt{A{E}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
∵DN²+DE²=NE²，即（$\sqrt{5}$）²+[$\sqrt{5}$+（$\sqrt{{x}^{2}+1}$）]²=（3+x）²，
解得：x=-$\frac{1}{2}$（舍去），x=2，
∴EN=5．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．