Question

3．如图，线段AB长为6cm，点C是线段AB上一动点（不与A，B重合），分别以AC和BC为斜边，在AB的同侧作等腰直角三角形△ADC，△CEB，点P是DE的中点，当点C从距离A点1cm处沿AB向右运动至距离B点1cm处时，点P运动的路径长是2cm．

Answer 1

分析 分别延长AD、BE交于点F，易证四边形CDFE为平行四边形，得出P为CF中点，设点C从距离A点1cm处G沿AB向右运动至距离B点1cm处H，则P的运行轨迹为△FGH的中位线MN．再求出GH的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可．

解答 解：如图，分别延长AD、BE交于点F．
∵△ADC和△ECB都是等腰直角三角形，且∠ADC=∠CEB=90°
∵∠A=∠ECB=45°，
∴AF∥CE，
同理，CD∥BF，
∴四边形CDFE为平行四边形，
∴CF与DE互相平分．
∵R为DE的中点，
∴R为CF中点，即在P的运动过程中，R始终为FC的中点，所以R的运行轨迹为三角形FGH的中位线MN．
∵GH=AB-AG-BH=6-1-1=4，
∴MN=$\frac{1}{2}$GH=2，即R的移动路径长为2cm．
故答案为2．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形中位线的性质、平行四边形的判定和性质，以及动点问题，是中考的热点，解题的关键是正确寻找点R的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．