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【题目】如图所示,AC为⊙O的直径且PAAC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D,.(1)求证:直线PB是⊙O的切线;

(2)求cosBCA的的值.

【答案】(1)证明见解析;(2)cosBCA =

【解析】分析:(1)连接OBOP,如图,结合相似三角形的性质可推出BDC∽△PDO,进一步分析可得BCOP,由此通过角之间的等量转化便不难得到BOP≌△AOP,至此结合全等三角形的性质,问题(1)便可得以解决;

(2)PB=a,则BD=2a,根据切线长定理得到PA=PB=a,由此借助勾股定理以及线段间的比例关系即可用含a的代数式表示出OP以及OA的长.

详解:(1)证明:连接OB、OP .

且∠D=D,

BDC∽△PDO ,

DBC=DPO ,

BCOP,

BCO=POA , CBO=BOP.

OB=OC ,

OCB=CBO ,

BOP=POA.

又∵ OB=OA, OP=OP ,

BOP≌△AOP ,

PBO=PAO.

又∵ PAAC ,

PBO=90° ,

直线PB是⊙O的切线.

(2)由(1)知∠BCO=POA ,

PB,则.

又∵ ,

.

又∵ BCOP ,

,

,

,

,

cosBCA=cosPOA= .

练习册系列答案
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(2)试判断:旋转过程中的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明;

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1 2

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