Question

2．如图，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=3，点O在AC的延长线上，且OC=4．
（1）试作出△ABC关于点O成中心对称的△A′B′C′；
（2）连接A′B，AB′，则四边形ABA′B′是中心对称图形吗？
（3）试求四边形ABA′B′的面积．

Answer 1

分析 （1）作出△ABC及点O，然后找出点A、B、C关于点O的对称点A′、B′、C′，然后顺次连接即可．
（2）与证明四边形ABA′B′是中心对称图形，只需推知四边形ABA′B′是平行四边形即可．
（3）根据S_{平行四边形ABA′B′}=2S_△AA′B计算即可．

解答 解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求的三角形．

（2）结论：四边形ABA′B′是中心对称图形．
理由如下：∵∠BAA′=∠B′A′A，
∴AB∥A′B′，又∵AB=A′B′，
∴四边形ABA′B′是平行四边形，
∴四边形ABA′B′是中心对称图形．
（3）∵四边形ABA′B′是平行四边形，
∴S_{平行四边形ABA′B′}=2S_△AA′B，AO=OA′=7，AA′=14
∵AB=5，BC=4，AC=3，
∴AB²=BC²+AC²，
∴△ACB是直角三角形，
∴∠BCA=90°即BC⊥CA，
∴S_{平行四边形ABA′B′}=2S_△AA′B=2×$\frac{1}{2}$×14×4=56．

点评 本题考查作图旋转变换、平行四边形的判定、平行四边形的面积等知识，理解中心对称的定义是解决问题的关键，记住平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等三角形，这两个三角形面积相等，属于中考常考题型．