Question

12．已知，在△ABC中∠ACB=90°，AC=BC，点P在△ABC内，且PA=3，PB=1，PC=2，求证：∠BPC=135°．

Answer 1

分析 把△APC绕点C逆时针旋转90°得到△BDC，根据旋转的性质可得△PCD是等腰直角三角形，BD=AP，∠APC=∠BDC，根据等腰直角三角形的性质求出PD，∠PDC=45°，然后利用勾股定理逆定理判断出△PBD是直角三角形，∠DPB=90°，再求出∠BPC即可得解．

解答 解：如图，把△APC绕点C逆时针旋转90°得到△BDC，
由旋转的性质得，△PCD是等腰直角三角形，BD=AP=3，∠APC=∠BDC，
所以PD=$\sqrt{2}$PC=2$\sqrt{2}$，∠PDC=45°，
∵PD²+PB²=（2$\sqrt{2}$）²+1²=9，
PA²=3²=9，
∴PD²+PB²=BD²，
∴△PBD是直角三角形，∠DPB=90°，
∴∠BPC=90°+45°=135°，
∴∠BPC=135°．
故答案是：135°．

点评 本题考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和直角三角形是解题的关键．