Question

7．观察算式：$\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\frac{1}{99}+\frac{1}{143}$+…，计算该算式前n项的和为$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 观察到每个分数分子均为1，分母是连续奇数，将第n个分数$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$拆分成$\frac{1}{2}$×$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，然后提取公因数化简计算可得．

解答 解：原式=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{3}）$+$\frac{1}{2}$×$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$\frac{1}{2}×（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$\frac{1}{2}$×$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{1}{2}$×（$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n}{2n+1}$，
故答案为：$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题主要考查数字的变化类，从已知分数中寻求不变的量与变化的量及如何变化是总结规律的关键．