Question

17．如图，山坡上有一颗大树AB与水平面EF垂直，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部D恰好接触到坡面AE．已知山坡的坡角∠AEF=24°，测得树干的倾斜角∠BAC=39°，大树被折断部分CD和坡面的夹角∠ADC=60°，AD=4米．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求这棵大树折断前高是多少米？（结果精确到个位）（$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7，$\sqrt{6}$≈2.4）

Answer 1

分析 （1）如果延长BA交EF于点G，那么BG⊥EF，∠CAE=180°-∠BAC-∠EAG，∠BAC的度数以及确定，只要求出∠GAE即可．直角三角形GAE中∠E的度数已知，那么∠EAG的度数就能求出来了，∠CAE便可求出；
（2）求树折断前的高度，就是求AC和CD的长，如果过点A作AH⊥CD，垂足为H．有∠CDA=60°，通过构筑的直角三角形AHD和ACH便可求出AD、CD的值．

解答 解：（1）延长BA交EF于点G．
在Rt△AGE中，∠E=24°，
∴∠GAE=66°．
又∵∠BAC=39°，
∴∠CAE=180°-66°-39°=75°．

（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H．
在△ADH中，∠ADC=60°，AD=4，cos∠ADC=$\frac{DH}{AD}$，∴DH=2．
sin∠ADC=$\frac{AH}{AD}$，∴AH=2$\sqrt{3}$．
在Rt△ACH中，
∵∠C=180°-75°-60°=45°，CH=AH=2$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{6}$，CH=AH=2$\sqrt{3}$．
∴AB=AC+CD=2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{3}$+2≈10（米）．
答：这棵大树折断前高约10米．

点评 本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．