Question

【题目】已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．

问题发现

如图，若四边形ABCD是矩形，且于G，，填空：______；当矩形ABCD是正方形时，______；

拓展探究

如图，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，成立？并证明你的结论；

解决问题

如图，若于G，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）①，②1；（2）当+=180°时，成立，理由见解析；（3）.

【解析】

（1）根据矩形的性质先一步证明△AED~△DFC，然后进一步利用相似三角形性质求解即可；

（2）在AD的延长线上取一点M，使得CM=CF，则∠CMD=∠CFM，通过证明△ADE~△DCM进一步求解即可；

（3）过C点作CN⊥AD于N点，CM⊥AB交AB延长线于M点，连接BD，先证明△BAD≌△BCD，然后进一步证明△BCM~△DCN，再结合勾股定理求出CN，最终通过证明△AED~△NFC进一步求解即可.

（1）∵四边形ABCD为矩形，

∴∠A=∠FDC=90°，AB=CD，

∵CF⊥DE，

∴∠DGF=90°，

∴∠ADE+∠CFD=90°，

∠ADE+∠AED=90°，

∴∠CFD=∠AED，

∵∠A=∠CDF，

∴△AED~△DFC，

∴，

∴①，②若四边形ABCD为正方形，，

故答案为：①，②1；

（2）当+=180°时，成立，理由如下：

如图，在AD的延长线上取一点M，使得CM=CF，则∠CMD=∠CFM，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠A=∠CDM，

∵∠B+∠EGC=180°，

∴∠BEG+∠FCB=180°，

∵∠BEG+∠AED=180°，

∴∠AED=∠FCB，

∵AD∥BC，

∴∠CFM=∠FCB，

∴∠CMD=∠AED，

∴△ADE~△DCM，

∴，

即：；

（3），理由如下：

过C点作CN⊥AD于N点，CM⊥AB交AB延长线于M点，连接BD，设CN=x，

∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，

∴∠A=∠M=∠CAN=90°，

∴四边形AMCN为矩形，

∴AM=CN，AN=CM，

在△BAD与△BCD中，

∵AD=CD，AB=BC，BD=BD，

∴△BAD≌△BCD（SSS），

∴∠BCD=∠A=90°，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

∵∠ABC+∠CBM=180°，

∴∠MBC=∠ADC，

∵∠CND=∠M=90°，

∴△BCM~△DCN，

∴，

∴，

∴，

在Rt△CMB中，，BM=AMAB=，

由勾股定理可得：，

∴，

解得：（舍去）或，

∴，

∵∠A=∠FGD=90°，

∴∠AED+∠AFG=180°，

∵∠AFG+∠NFC=180°，

∴∠AED=∠CFN，

∵∠A=∠CNF，

∴△AED~△NFC，

∴.