Question

如图，在直角坐标系中，⊙M的圆心在y轴的正半轴上，AB与⊙M相切于A，BC与⊙M相切于点D，圆M与x轴相切于点O，已知B点坐标为（4，12）．
（1）求点C的坐标；
（2）求经过A、B、C三点的函数的解析式，并写出对称轴；
（3）求圆M在抛物线的对称轴上切得的弦EF的长．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）过B作BH⊥OC于H，设OC=x，由切线长定理可求出BC的长，在直角三角形BHC中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程求出x的值即可求出点C的坐标；
（2）设经过A、B、C三点的函数的解析式为y=ax²+bx+c，把A、B、C三点的坐标代入解方程组即可得到抛物线的解析式，利用公式法即可求出抛物线的对称轴；
（3）过M作MN⊥EF于N，由抛物线的对称轴可得MN的长，又因为圆的半径已知，所以利用勾股定理可求出NF的长，再根据垂径定理即可求出EF的长．

解答：解：（1）过B作BH⊥OC于H，设OC=x，
∵AB与⊙M相切于A，BC与⊙M相切于点D，圆M与x轴相切于点O，
∴AB=BD，OC=DC，
∵知B点坐标为（4，12），
∴OH=AB=4，AO=BH=12，
∴CH=OC-OH=x-4，BC=BD+CD=x+4，
在Rt△BHC中，BH²+CH²=BC²，
∴12²+（x-4）²=（x+4）²，
解得：x=9，
∴OC=9，
即点C的坐标是（9，0）；
（2）设经过A、B、C三点的函数的解析式为y=ax²+bx+c，
∵A（0，12），B（4，12），C（9，0）
∴

12=c 12=16a+4b+c 0=81a+9b+c

，
解得：

a=- 4 15 b= 16 15 c=12

，
∴y=-

4

15

x²+

16

15

x+12，
∴抛物线对称轴是直线x=-

16 15

-2× 4 15

=2；
（3）过M作MN⊥EF于N，
∵抛物线对称轴是直线x=2，
∴MN=2，
∵MF=6，
∴NF=

62-22

=4

2

，
∴EF=2NF=8

2

．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理的运用、垂径定理的运用以及解一元二次方程等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生计算能力，数形结合的数学思想方法．