Question

如图，已知AE与BD相交于点C，AB=AC，DE=DC，M、N、P分别是BC、CE、AD的中点．求证：
（1）AD=2PM；
（2）PM=PN．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据等腰三角形底边三线合一性质可证△AMD是RT△，根据直角三角形斜边中线等于斜边长一半即可解题；
（2）找到AC中点H，连接HP，HM，找到CD中点G，连接GP，GN，可证△PHM≌△NGP，即可解题．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵M是BC中点，
∴AM⊥BC，
∵P是RT△AMD斜边上中点，
∴AD=2PM；
（2）找到AC中点H，连接HP，HM，找到CD中点G，连接GP，GN，

则MH是AB边中位线，HP是CD边中位线，PG是AC边上中位线，GN是DE边上中位线，
∴MH=

1

2

AB，HP=

1

2

CD，PG=

1

2

AC，GN=

1

2

DE，
 MH∥AB，HP∥CD，PG∥AC，GN∥DE，
∵AB=AC，DC=DE，
∴HM=PG，HP=NG，
∴∠CHM=∠BAC，∠PHC=∠DCE，∠NGC=∠CDE，∠PGC=∠ACB，
∵AB=AC，DC=DE，∠ACB=∠DCE，
∴∠BAC=∠CDE，∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC，
∴∠PHM=∠NGP，
在△PHM和△NGP中，

HM=PG ∠PHM=∠NGP HP=NG

，
∴△PHM≌△NGP（SAS），
∴PM=PN．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中构建△PHM和△NGP并证明其全等是解题的关键．