Question

如图所示是两个同心圆被其两条半径所截得到的图形，已知

AB

的长为l，

A′B′

的长为l′，AA′=d，求证：
（1）∠O=

l-l′

d

×

180

π

度；
（2）S_ABB′A′=

1

2

（l+l′）d．

Answer 1

考点：扇形面积的计算,弧长的计算

专题：

分析：（1）设∠O=n°，则

AB

的长和

A′B′

的长即可求得，然后根据OA-OA'=d，即可求解；
（2）根据S_ABB′A′=S_扇形OAB-S_扇形OA'B'即可证得．

解答：证明：（1）设∠O=n°，则

AB

的长为l=

nπ•OA

180

，

A′B′

的长为l′=

nπ•OA′

180

，
则OA=

180l

nπ

，OA'=

180l′

nπ

，
∵OA-OA'=d，
则

180l

nπ

-

180l′

nπ

=d，
则n=

l-l′

d

×

180

π

．
故∠O=

l-l′

d

×

180

π

度；
（2）∵S_扇形OAB=

1

2

l•OA，S_扇形OA'B'=

1

2

l'•OA'，
∴S_ABB′A′=S_扇形OAB-S_扇形OA'B'=

1

2

l•OA-

1

2

l'OA'=

1

2

l•（OA'+d）-

1

2

l'•OA'=

1

2

（l+l′）d．

点评：本题考查了弧长公式以及扇形的面积公式，理解公式是关键．