Question

二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴有两个交点A（-1，0），B（n，0），交y轴于点C（0，p），已知p=-3a（n-2）．
（1）求点B的坐标； 
（2）若抛物线上存在点M，且△ABM为直角三角形，求a的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，结合p=-3a（n-2）来求系数的值；
（2）由（1）可以求得该抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．由抛物线的形状可知，如果△ABM为直角三角形，那么直角顶点只能是点M．过M点作MN⊥AB于N，由△AMN∽△MBN，得出MN²=AN•BN，由此列出方程a²（x²-2x-3）²=（x+1）（x-3），通过该方程的根的判别式大于零列出关于a的不等式，通过解不等式求得a的取值范围．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴有两个交点A（-1，0），B（n，0），交y轴于点C（0，p），p=-3a（n-2）．
∴

a-b+c=0 an2+nb+c=0 c=p p=-3a(n-2)

，
消元，得
-2n²a+4na+6a=0，即-2a（n-3）（n+1）=0．
∵a≠0，
∴n=3或n=-1（不合题意，舍去）．
∴点B的坐标是（3，0）．

（2）∵由（1）知，A（-1，0），B（3，0）．
∴该抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．
由抛物线的形状可知，如果△ABM为直角三角形，那么直角顶点只能是点M，且点M在x轴下方．
设M点的横坐标为x，过M点作MN⊥AB于N，如图．
在△AMN与△MBN中，
∵∠ANM=∠MNB=90°，∠AMN=∠MBN=90°-∠BMN，
∴△AMN∽△MBN，
∴

AN

MN

=

MN

BN

，
∴MN²=AN•BN、
∵即a²（x²-2x-3）²=（x+1）（3-x），
整理得x²-2x-3+

1

a2

=0，
∴△=4-4×（3-

1

a2

）＞0，
解得

1

2

＜a＜

1

2

，
∵a＞0，
∴0＜a＜

1

2

．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．其中涉及到的知识点有抛物线的性质，相似三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式以及两点间的坐标公式的应用，综合性较强，难度适中．