Question

【题目】如图1，抛物线：与直线l：交于x轴上的一点A，和另一点

求抛物线的解析式；

点P是抛物线上的一个动点点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点于点M，轴交AB于点N，求MN的最大值；

如图2，将抛物线绕顶点旋转后，再作适当平移得到抛物线，已知抛物线的顶点E在第一象限的抛物线上，且抛持线与抛物线交于点D，过点D作轴交抛物线于点F，过点E作轴交抛物线于点G，是否存在这样的抛物线，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）点的横坐标为时，四边形DFEG为菱形

【解析】

求直线l与x轴交点A坐标、B坐标，用待定系数法求抛物线的解析式．

延长PN交x轴于点H，设点P横坐标为m，由轴可得点N、H横坐标也为m，即能用m表示PN、NH、AH的长．由及对顶角可得发现在中，MN与PN比值即为，故先在中求的值，再代入，即得到MN与m的函数关系式，配方即求得MN最大值．

设点，所以可设抛物线顶点式为令两抛物线解析式列得关于x的方程，解得两抛物线的另一交点D即为抛物线的顶点，故DG，且求得DF平行且等于GE，即四边形DFEG首先一定是平行四边形．由DFEG为菱形可得，故此时为等边三角形．利用特殊三角函数值作为等量关系列方程，即求得e的值．

解：直线l：交x轴于点A，

，解得：，

，

点在直线l上，

，

，

抛物线：经过点A、B，

，

解得：，

抛物线的解析式为，

如图1，延长PN交x轴于点H，

，

设 ，

轴，

，

，，

，，

中，，

，

于点M，

，

，

，

中，，

，

的最大值为，

存在满足条件的抛物线，使得四边形DFEG为菱形，

如图2，连接DE，过点E作于点Q，

，

抛物线顶点为 ，

设 ，

抛物线顶点式为，

当，

解得：，，

两抛物线另一交点为抛物线顶点，

轴，轴，

，，

四边形DFEG是平行四边形，

若DFEG为菱形，则，

由抛物线对称性可得：，

，

是等边三角形，

，

，

解得：舍去，，

点的横坐标为时，四边形DFEG为菱形．