【题目】(探索发现)如图1,△ABC中,点D,E,F分别在边BC,AC,AB上,且AD,BE,CF相交于同一点O.用”S”表示三角形的面积,有S△ABD:S△ACD=BD:CD,这一结论可通过以下推理得到:过点B作BM⊥AD,交AD延长线于点M,过点C作CN⊥AD于点N,可得S△ABD:S△ACD=,又可证△BDM~△CDN,∴BM:CN=BD:CD,∴S△ABD:S△ACD=BD:CD.由此可得S△BAO:S△BCO= ;S△CAO:S△CBO= ;若D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,则S△BFO:S△ABC= .
(灵活运用)如图2,正方形ABCD中,点E,F分别在边AD,CD上,连接AF,BE和CE,AF分别交BE,CE于点G,M.
(1)若AE=DF.判断AF与BE的位置关系与数量关系,并说明理由;
(2)若点E,F分别是边AD,CD的中点,且AB=4.则四边形EMFD的面积是 .
(拓展应用)如图3,正方形ABCD中,AB=4,对角线AC,BD相交于点O.点F是边CD的中点.AF与BD相交于点P,BG⊥AF于点G,连接OG,请直接写出S△OGP的值.
【答案】[探索发现] AE:EC,AF:BF,1:6.[灵活运用](1)结论:AF=BE,AF⊥BE.(2);[拓展应用] S△GOP=
.
【解析】
【探索发现】利用等高模型,解决问题即可.
【灵活运用】
(1)结论:AF=BE,AF⊥BE.证明△BAE≌△ADF(SAS)即可解决问题.
(2)根据对称性可知△DME,△DMF,关于直线DM对称,推出S△DME=S△DMF,由AE=DE,推出S△AEM=S△DME=S△DMF,求出△ADF的面积即可解决问题.
【拓展应用】
由△GPO∽△BPA,推出 即可解决问题.
解:探索发现:由题意:S△BAO:S△BCO=AE:EC;S△CAO:S△CBO=AF:BF;若D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,则S△BFO:S△ABC=1:6,
故答案为:AE:EC,AF:BF,1:6.
灵活运用:(1)结论:AF=BE,AF⊥BE.
理由:如图2中,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAE=∠ADF=90°,
∵AE=DF,
∴△BAE≌△ADF(SAS),
∴BE=AF,∠ABE=∠DAF,
∵∠ABE+∠AEB=90°,
∴∠DAF+∠AEB=90°,
∴∠AGE=90°,
∴AF⊥BE.
(2)如图2﹣1中,连接DM.
根据对称性可知△DME,△DMF,关于直线DM对称,
∴S△DME=S△DMF,
∵AE=DE,
∴S△AEM=S△DME=S△DMF,
∵S△ADF=×4×2=4,
∴S△AEM=S△DME=S△DMF=,
∴S四边形EMFD=.
故答案为.
拓展应用:如图3中,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD=4,AC=BD=4,OA=OB=OD=OC=2
,
∵DF=FC,
∴DF=FC=2,
∵DF∥AB,
∴,
∴OP:OB=OP:OA=1:3,
∵BG⊥PA,AO⊥OB,
∴∠AGB=∠AOB=90°,
∵∠OAP+∠APO=90°,∠PBG+∠BPG=90°,
∴∠PAO=∠PBG,
∵∠APO=∠BPG,
∴△AOP∽△BGP,
∴
∴,∵∠GPO=∠BPA,
∴△GPO∽△BPA,
∴,
∴S△ABP=S△ABD=
,
∴S△GOP=.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为改善教学条件,学校准备对现有多媒体设备进行升级改造,已知购买3个键盘和1个鼠标需要190元;购买2个键盘和3个鼠标需要220元;
(1)求键盘和鼠标的单价各是多少元?
(2)经过与经销商洽谈,键盘打八折,鼠标打八五折.若学校计划购买键盘和鼠标共50件,且总费用不超过1820元,则最多可购买键盘多少个?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】甲和乙两位同学想测量一下广场中央的照明灯P的高度,如图,当甲站在A处时,乙测得甲的影子长AD正好与他的身高AM相等,接着甲沿AC方向继续向前走,走到点B处时,甲的影子刚好是线段AB,此时测得AB的长为1.2m.已知甲直立时的身高为1.8m,求照明灯的高CP的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,BC>AB>AC.甲、乙两人想在BC上取一点P,使得∠APC=2∠ABC,其作法如下:
(甲)作AB的中垂线,交BC于P点,则P即为所求;
(乙)以B为圆心,AB长为半径画弧,交BC于P点,则P即为所求.
对于两人的作法,下列判断何者正确?( )
A. 两人皆正确B. 两人皆错误C. 甲正确,乙错误D. 甲错误,乙正确
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某宾馆有若干间住房,住宿记录提供了如下信息:
(1)4月17日全部住满,一天住宿费收入为12000元;
(2)4月18日有20间房空着,一天住宿费收入为9600元;
(3)该宾馆每间房每天收费标准相同.
①一个分式方程,求解该宾馆共有多少间住房,每间住房每天收费多少元?
②通过市场调查发现,每间住房每天的定价每增加10元,就会有5个房间空闲;已知该宾馆空闲房间每天每间支出费用10元,有顾客居住房间每天每间支出费用20元,问房价定为多少元时,该宾馆一天的利润为11000元?(利润=住宿费收入﹣支出费用)
③在(2)的计算基础上,你能发现房价定为多少元时,该宾馆一天的利润最大?请直接写出结论.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,D为⊙O上一点,点C在直线BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若BC=8cm,tan∠CDA=,求⊙O的半径;
(3)在(2)条件下,过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,连接OE,求四边形OEDA的面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的一条弦,且CD⊥AB于点E,连接AD,BC,CO
(1)当∠BCO=25°时,求∠A的度数;
(2)若CD=4,BE=4,求⊙O的半径.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,点A、D、C、F在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.
(1)求证:ΔABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度数.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】菱形ABCD中、∠BAD=120°,点O为射线CA 上的动点,作射线OM与直线BC相交于点E,将射线OM绕点O逆时针旋转60°,得到射线ON,射线ON与直线CD相交于点F.
(1)如图①,点O与点A重合时,点E,F分别在线段BC,CD上,请直接写出CE,CF,CA三条段段之间的数量关系;
(2)如图②,点O在CA的延长线上,且OA=AC,E,F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上,请写出CE,CF,CA三条线段之间的数量关系,并说明理由;
(3)点O在线段AC上,若AB=6,BO=2,当CF=1时,请直接写出BE的长.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com