Question

【题目】科技改变着人们的生活，“高铁出行”已成为人们的日常重要交通方式，如今，河南高铁也在发生着日新月异的变化，2018年我省为连接A、B两座城市之间的高铁运行，某工程勘测队在点E处测得城市A在北偏西16°方向上，城市B在北偏东60°方向上，该勘测队沿正东方向行进了7.5km到达点F处，此时测得城市A在北偏西30°方向上，城市B在北偏东30°方向上

（1）请结合所学的知识判断AB、AE的数量关系，并说明理由；

（2）求城市A和城市B之间的距离为多少公里？（结果精确到1km）（参考数据：≈1.73，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，sin16°≈0.28，cos16°≈0.96）

Answer 1

【答案】(1) AB＝AE,理由见解析；（2）城市A和城市B之间距离约为27km．

【解析】

（1）根据题意设立参考点并建立坐标系，标出方向角，利用余角的性质找到相等的对应角，在由题意已得到对应边，证明三角形全等．
（2）构造直角三角形，利用三角函数表示涉及计算的各边，并利用等量关系建立方程并求解即可．

解：（1）AB＝AE

理由如下：如图

∵城市A在点E处北偏西16°方向上，城市B在点北偏东60°方向上．

∴∠AEH＝90°﹣16°＝74°，∠BEF＝90°﹣60°＝30°

又∵城市A在点F北偏西30°方向上，城市B在点F处北偏东30°方向上．

∴∠AFE＝90°﹣30°＝60°．∠BFN＝90°﹣30°＝60°

∴∠EBF＝60°﹣30°＝30°

∴EF＝BF

又∵∠BFA＝30°+30°＝60°

在△AEF与△ABF中

∴△AEF≌△ABF（SAS）

∴AB＝AE

（2）过A作AH⊥MN于点H．

设AE＝x，则AH＝xsin（90°﹣16°）＝xsin74°，HE＝xcos（90°﹣16°）＝xcos74°

∴HF＝xcos74°+7.5

∴在Rt△AHF中，AH＝HFtan60°

∴xsin74°＝（xcos74°+7.5）tan60°

即0.96x＝（0.28x+7.5）×1.73

解得x≈27，即AB≈27

答：城市A和城市B之间距离约为27km．