Question

【题目】如图，在矩形OABC中，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（4，3），动点N，P分别从点B，A同时出发，点N以1单位/秒的速度向终点C运动，点P以5/4单位/秒的速度向终点C运动，连结NP，设运动时间为t秒（0＜t＜4）

（1）直接写出OA，AB，AC的长度；

（2）求证：△CPN∽△CAB；

（3）在两点的运动过程中，若点M同时以1单位/秒的速度从点O向终点A运动，求△MPN的面积S与运动的时间t的函数关系式（三角形的面积不能为0），并直接写出当S＝时，运动时间t的值．

Answer 1

【答案】（1）OA＝4，AB＝3，AC＝5；（2）见解析；（3）t的值为（3﹣）秒

【解析】

（1）由矩形的性质和已知条件得出OA＝BC＝4，AB＝OC＝3，∠AOC＝90°，由勾股定理求出AC＝＝5；

（2）由题意得BN＝t，AP＝t，证出＝，得出PN∥AB，即可得出△CPN∽△CAB；

（3）①当0＜t＜2时，延长NP交OA于D，由相似三角形的性质得＝＝，求出PD＝t，AD＝t，得出PN＝3﹣t，DM＝4﹣2t，由三角形面积公式即可得出答案；

②2＜t＜4时，延长NP交OA于D，由相似三角形的性质得出＝＝，即＝＝，求出PD＝t，AD＝t，得出PN＝3﹣t，DM＝2t﹣4，由三角形面积公式即可得出答案；再把S＝分别代入两个关系式，解方程即可．

（1）证明：∵四边形OABC是矩形，A（4，0），B（4，3），

∴OA＝BC＝4，AB＝OC＝3，∠AOC＝90°，

∴AC＝＝＝5；

（2）解：由题意得：BN＝t，AP＝t，

∵＝，＝＝，

∴＝，

∴PN∥AB，

∴△CPN∽△CAB；

（3）解：分两种情况：

①当0＜t＜2时，延长NP交OA于D，如图1所示：

由（2）得：PD∥AB，

∴△APD∽△ACO，

∴＝＝，即＝＝，

解得：PD＝t，AD＝t，

∴PN＝3﹣t，DM＝4﹣t﹣t＝4﹣2t，

∴△MPN的面积S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（4﹣2t）＝t2﹣t+6，

即S＝t2﹣t+6（0＜t＜2）；

②当2＜t＜4时，延长NP交OA于D，如图2所示：

由（2）得：PD∥AB，

∴△APD∽△ACO，

∴＝＝，即＝＝，

解得：PD＝t，AD＝t，

∴PN＝3﹣t，DM＝t+﹣4t＝2t﹣4，

∴△MPN的面积S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（2t﹣4）＝﹣t2+t﹣6，

即S＝﹣t2+t﹣6（2＜t＜4）；

当S＝，0＜t＜2时，则t2﹣t+6＝，

整理得：t2﹣6t+6＝0，

解得：t＝3﹣，或t＝3+（不合题意舍去），

∴t＝3﹣；

当S＝，2＜t＜4时，则﹣t2+t﹣6＝，

整理得：t2﹣6t+10＝0，

∵△＝36﹣40＜0，

∴此方程无解；

综上所述，当S＝时，运动时间t的值为（3﹣）秒．