Question

已知，如图，点C在线段AB上，在AB的同旁作等边△ADC和等边△BCE，连接AE、BD交CD、CE于M、N两点．
（1）求证：AE=BD；
（2）求证：MN∥AB；
（3）如果把△BEC绕着C点旋转任意角度，上述结论中哪些还成立？请简要说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,平行线的判定,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用等边三角形的性质可得AC=CD，BC=CE，∠DCA=∠ECB=60°，再利用角的和差得∠ACE=∠DCB，可证明△ACE≌△DCB，可得AE=BD；
（2）利用条件结合（1）中△ACE≌△DCB，可证明△EMC≌△BNC，可得CM=CN，结合条件可得△CMN为等边三角形，可得到∠BCE=∠MNC=60°，可证得MN∥AB；
（3）利用旋转的性质可证明△ACE≌△BNC（SAS），可得AE=BD．

解答：（1）证明：∵等边△ADC和等边△BCE，
∴AC=CD，BC=CE，∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，

AC=DC ∠ACE=∠DCB CE=BC

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；
（2）证明：∵△ACE≌△DCB，
∴∠DBC=∠AEC，
∵∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=60°=∠BCE，
在△EMC和△BNC中，

∠ECB=∠ECM ∠AEC=∠CBD EC=BC

，
∴△EMC≌△BNC（AAS），
∴CM=CN，
∵∠MCN=60°，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠BCE=∠MNC=60°，
∴MN∥AB；
（3）解：结论（1）成立，理由如下：
不论旋转多少度，AC=CD，BC=CE，∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△DCB中，

AC=CD ∠DCA=∠ECB BC=CE

，
∴△ACE≌△BNC（SAS），
∴AE=BD．

点评：本题主要考查全等三角形的性质和判定及等边三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．