Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度向终点C运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，连接PQ，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°得到线段QE，以PQ、QE为边作正方形PQEF．设点P运动的时间为t秒（t＞0）

（1）点P到边AB的距离为______（用含t的代数式表示）

（2）当PQ∥BC时，求t的值

（3）连接BE，设△BEQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式

（4）当E、F两点中只有一个点在△ABC的内部时，直接写出t的取值范围

Answer 1

【答案】（1）t；（2）t=1；（3）S=；（4）详见解析.

【解析】

（1）作PH⊥AB交AB于点H，根据相似三角形，求出PH即可；

（2）根据平行线成比例性质，当PQ∥BC时，，即可求出t；

（3）分为0＜t＜1和1≤t≤2两种情况，进行讨论；

（4）根据题目，当F点在AB上时，此时t=1，当0＜t≤1．时，当E、F至少有一个点在△ABC的内部，当1＜t≤2时，没有点在内部．

解：（1）如图1，作PH⊥AB交AB于点H，

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，AC=．

根据题意，AP=t，

∵∠A=∠A，∠B=∠AHP，

∴△AHP～△ABC，

∴，即，解得PH=t，

即点P到边AB的距离为t．

故答案为t

（2）根据题意，AP=，BQ=2t，AQ=4-2t，

当PQ∥BC时，，即，解得t=1

（3）由（1）可知，E，F运动过程可分为两个阶段

当0＜t＜1，如图2，连接BE，作PH⊥AB交AB于点H，作GE⊥AB交AB于点G，

∵∠HPG+∠PQH=∠HQP+∠GQE=90°，

∵，

∴△PHQ≌△QGE（AAS），

∴AH=BQ=2t，HQ=GE=4-4t，

S=，

当1≤t≤2，

连接BE，作PH⊥AB交AB于点H，作GE⊥AB交AB于点G，

同理可证∴△PHQ≌△QGE（AAS），

∴AH=BQ=2t，HQ=GE=4t-4，

S=，

∵S＞0，∴t≠0，

∴S=；

（4）由（1）知，当F点在AB上时，此时t=1，

当0＜t≤1．时，当E、F至少有一个点在△ABC的内部；当1＜t≤2时，没有点在内部．