Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x、y轴于点A、B，直线BC分别交x、y轴于点C、B，点A的坐标为（2，0），∠ABO=30°，且AB⊥BC．

（1）求直线BC和AB的解析式；

（2）将点B沿某条直线折叠到点O，折痕分别交BC、BA于点E、D，在x轴上是否存在点F，使得点D、E、F为顶点的三角形是以DE为斜边的直角三角形？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由；

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）（﹣2，0）或（0，0）

【解析】

（1）解直角三角形求出B、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图1中，根据对称性可知，当点F与O重合时，∠EF′D=∠EBD=90°，此时F′（0，0）；设DE交OB于K，作FH⊥DE于H．当△EFD≌△DF′E时，∠EFD=∠DF′E=90°，想办法求出OF的长即可解决问题；

解：（1）在Rt△AOB中，∵OA=2，∠ABO=30°，

∴OB=2，

在Rt△OBC中，∵∠BCO=30°，OB=2，

∴OC=6，

∴B（0，2），C（6，0），

设直线AB的解析式为y=kx+b，则有，

解得，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+2，

设直线BC的解析式为y=k′x+b′则有，

解得，

∴直线BC的解析式为y=x+2．

（2）如图1中，根据对称性可知，当点F与O重合时，∠EF′D=∠EBD=90°，此时F′（0，0），

设DE交OB于K，作FH⊥DE于H．当△EFD≌△DF′E时，∠EFD=∠DF′E=90°，

易证DK=EH=1，DE=AC=4，

∴KH=OF=4﹣2=2，

∴F（﹣2，0），

综上所述，满足条件的点F坐标为（﹣2，0）或（0，0）．