Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB上一点，以AD为直径作⊙O交AC于E，与BC相切于点F，连接AF．
（1）求证：∠BAF=∠CAF；
（2）若AC=6，BC=8，求BD和CE的长；
（3）在（2）的条件下，若AF与DE交于H，求FH•FA的值．（直接写出结果即可）

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：（1）连结OF，如图，根据切线的性质得OF⊥BC，则易得OF∥AC，所以∠OFA=∠CAF，加上∠OAF=∠OFA，则∠BAF=∠CAF；
（2）设⊙O的半径为r，OF与DE交于点P，如图，在Rt△ABC中根据勾股定理计算出AB=10，再证明△BOF∽△BAC，利用相似比计算出r=

15

4

，则BD=BA-AD=

5

2

；接着根据圆周角定理由AD为⊙O的直径得到∠AED=90°，易得DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理可计算出CE=

3

2

；
（3）根据平行线分线段成比例定理，由OF∥AC，

CF

CB

=

AO

AB

，则可计算出CF=3，再在Rt△ACF中，利用勾股定理计算出AF=3

5

，然后利用HE∥CF得到

FH

FA

=

CE

CA

，可计算出FH=

3 5

2

，最后计算FH•FA的值．

解答：（1）证明：连结OF，如图，
∵⊙O与BC相切于点F，
∴OF⊥BC，
∵∠ACB=90°，
∴OF∥AC，
∴∠OFA=∠CAF，
而OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∴∠BAF=∠CAF；
（2）解：设⊙O的半径为r，OF与DE交于点P，如图，
在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∵OF∥AC，
∴△BOF∽△BAC，
∴

OF

AC

=

BO

BA

，即

r

6

=

10-r

10

，解得r=

15

4

，
∴BD=BA-AD=10-2×

15

4

=

5

2

，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED=90°，
而∠C=90°，
∴DE∥BC，
∴

BD

BA

=

CE

CA

，即

5 2

10

=

CE

6

，
∴CE=

3

2

；
（3）解：∵OF∥AC，
∴

CF

CB

=

AO

AB

，即

CF

8

=

15 4

10

，解得CF=3，
在Rt△ACF中，AF=

AC2+CF2

=3

5

，
∵HE∥CF，
∴

FH

FA

=

CE

CA

，即

FH

3 5

=

3

6

，
∴FH=

3 5

2

，
∴FH•FA=

3 5

2

•3

5

=

45

2

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定平行线分线段成比例定理和勾股定理．