Question

如图，△ABC的高AD、BE交于点H，若BH=AC，证明：
（1）∠ABC=45°；
（2）DH=DC；
（3）∠CED=45°．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）求出∠ADC=∠BDH=90°，∠CAD=∠DBH，根据AAS推出△ADC≌△BDH，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出即可；
（2）根据全等三角形的性质得出即可；
（3）证A、B、D、E四点共圆，根据圆内接四边形的性质得出即可．

解答：证明：（1）∵△ABC的高AD、BE交于点H，
∴∠BEC=∠ADC=∠BDH=90°，
∴∠DBH+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠DBH=∠DAC，
在△ADC和△BDH中，

∠DAC=∠DBH ∠ADC=∠BDH AC=BH

，
∴△ADC≌△BDH（AAS），
∴AD=BD，
∵∠ADB=90°，
∴∠ABC=∠BAD=45°；

（2）∵△ADC≌△BDH，
∴DH=DC；

（3）∵∠AEB=∠ADB=90°，
∴A、B、D、E四点共圆，
∴∠CED=∠ABC=45°．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，圆内接四边形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，难度偏大．