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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线ADBC于点D,过点DDEADAB于点E,以AE为直径作O

1)求证:直线BCO的切线;

2)若∠ABC=30°,O的直径为4,求阴影部分面积.

【答案】1)证明见解析;(2

【解析】

1)连接OD,由AE为直径、DEAD可得出点D在⊙O上且∠DAO=ADO,根据AD平分∠CAB可得出∠CAD=DAO=ADO,由“内错角相等,两直线平行”可得出ACDO,再结合∠C=90°即可得出∠ODB=90°,进而即可证出BC是⊙O的切线;
2)由题意得出AE=4DO=AO=EO=AE=2,由直角三角形的性质得出CDDE,由勾股定理求出ADAC,由三角函数求出BC,由三角形面积、梯形面积和扇形面积公式即可得出答案.

1)连接OD,如图所示.

RtADE中,点OAE的中心,

DO=AO=EO=AE

∴点D在⊙O上,且∠DAO=ADO

AD平分∠CAB

∴∠CAD=DAO

∴∠ADO=CAD

ACDO

∵∠C=90°

∴∠ODB=90°,即ODBC

OD为半径,

BC是⊙O的切线;

2)∵⊙O的直径为4

AE=4DO=AO=EO=AE=2

∵∠ABC=30°

∴∠CAD=DAO=30°

CD=ADDE=AE=2AD==2

CD=AC==3

tanABC=

BC=3

∴阴影部分面积=SABCS梯形ODCAS扇形ODE

=ACBCOD+ACCD

=×3×32+3×

=2π

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