【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,过点D作DE⊥AD交AB于点E,以AE为直径作⊙O.
(1)求证:直线BC是⊙O的切线;
(2)若∠ABC=30°,⊙O的直径为4,求阴影部分面积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)连接OD,由AE为直径、DE⊥AD可得出点D在⊙O上且∠DAO=∠ADO,根据AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO,由“内错角相等,两直线平行”可得出AC∥DO,再结合∠C=90°即可得出∠ODB=90°,进而即可证出BC是⊙O的切线;
(2)由题意得出AE=4,DO=AO=EO=AE=2,由直角三角形的性质得出CD,DE,由勾股定理求出AD,AC,由三角函数求出BC,由三角形面积、梯形面积和扇形面积公式即可得出答案.
(1)连接OD,如图所示.
在Rt△ADE中,点O为AE的中心,
∴DO=AO=EO=AE,
∴点D在⊙O上,且∠DAO=∠ADO.
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠DAO,
∴∠ADO=∠CAD,
∴AC∥DO.
∵∠C=90°,
∴∠ODB=90°,即OD⊥BC.
∵OD为半径,
∴BC是⊙O的切线;
(2)∵⊙O的直径为4,
∴AE=4,DO=AO=EO=AE=2.
∵∠ABC=30°,
∴∠CAD=∠DAO=30°,
∴CD=AD,DE=AE=2,AD==2,
∴CD=,AC==3.
∵tan∠ABC=,
∴BC=3,
∴阴影部分面积=S△ABC﹣S梯形ODCA﹣S扇形ODE
=ACBC﹣(OD+AC)CD﹣
=×3×3﹣(2+3)×﹣
=2﹣π.
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【题目】如图,四边形ABCD为正方形,O为AC、BD的交点,△DCE为Rt△,∠CED=90°,OE=,若CEDE=5,则正方形的面积为( )
A.5B.6C.7D.8
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【题目】《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里,一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的,为看图方便,我们把它改为横排,如图1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来,就是,类似地,图2所示的算筹图我们可以表述为( )
A.B.C.D.
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【题目】某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况用图表示如下:
对这两名运动员的成绩进行比较,下列四个结论中,不正确的是( )
A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B.甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数
C.甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
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【题目】小明在学了尺规作图后,通过“三弧法”作了一个△ACD,其作法步骤是:①作线段AB,分别以A,B为圆心,AB长为半径画弧,两弧的交点为C;②以B为圆心,AB长为半径画弧交AB的延长线于点D;③连结AC,BC,CD.下列说法不正确的是( )
A.∠A=60°B.△ACD是直角三角形
C.BC=CDD.点B是△ACD的外心
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【题目】如图,已知AB为半圆O的直径,C为半圆O上一点,连接AC,BC,过点O作OD⊥AC于点D,过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E,连接BD并延长交AE于点F.
(1)求证:AEBC=ADAB;
(2)若半圆O的直径为10,sin∠BAC=,求AF的长.
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【题目】甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材,若甲单独整理需要40分钟完工,若甲、乙共同整理20分钟后,乙需再单独整理20分钟才能完工.
⑴问乙单独整理多少分钟完工?
⑵若乙因工作需要,他的整理时间不超过30分钟,则甲至少整理多少分钟才能完工?
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【题目】某校为改善办学条件,计划购进A,B两种规格的书架,经市场调查发现有线下和线上两种购买方式,具体情况如下表:
(1)如果在线下购买A,B两种书架20个,共花费5520元,求A,B两种书架各购买了多少个.
(2)如果在线上购买A,B两种书架20个,共花费W元,设其中A种书架购买m个,求W关于m的函数关系式.
(3)在(2)的条件下,若购买B种书架的数量不少于A种书架数量的2倍,请求出花费最少的购买方案,并计算按照这种购买方案,线上比线下节约多少钱?
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【题目】“2020盐城国际半程马拉松”的赛事共有三项:A、“半程马拉松”、B、“10公里”、C、“迷你马拉松”.小明和小华参加了该项赛事的志愿者服务工作,组委会随机将志愿者分配到三个项目组.
(1)小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为 ;
(2)请用表格或树状图列出所有可能情况,求小明和小华被分配到不同项目组的概率.
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