Question

18．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，OP交⊙O于点C，连接BO并延长交⊙O于点D，交PA的延长线于点E，连接AD、BC．下列结论：①AD∥PO；②△ADE∽△PCB；③tan∠EAD=$\frac{ED}{EA}$；④BD²=2AD•OP．其中一定正确的是（　　）

• A． ①③④
• B． ②④
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 连接OA，如图，根据切线的性质得∠APO=∠BPO，OA⊥PA，OB⊥PB，根据等角的余角相等得∠2=∠4，再利用三角形外角性质可得∠3=∠4，于是可判断OP∥AD，则可对①进行判断；
根据平行线的性质，由OP∥AD，得到∠ADE=∠POE，再利用邻补角定义得∠POE+∠COB=180°，∠PCB+∠OCB=180°，由于∠COB≠∠OCB，则∠PCB≠∠ADE，所以不能判断△ADE∽△PCB，则可对②进行判断；
根据平行线分线段成比例定理，由OP∥AD得$\frac{EA}{AP}$=$\frac{ED}{DO}$，且∠EAD=∠EPO，则$\frac{ED}{EA}$=$\frac{DO}{AP}$，再在Rt△AOP中，利用正切定理得到tan∠APO=$\frac{OA}{AP}$=$\frac{OD}{AP}$，所以tan∠EAD=$\frac{ED}{EA}$，则可对③进行判断；
连结AB，证明Rt△ABD∽△BPO得到$\frac{AD}{OB}$=$\frac{BD}{OP}$，由OB=$\frac{1}{2}$BD即可得到BD²=2AD•OP，则可对④进行判断．

解答 解：连接OA，如图，
∵PA、PB分别是⊙O的切线，
∴∠APO=∠BPO，OA⊥PA，OB⊥PB；
∴∠2=∠4，
∵OB=OC，
∴∠1=∠3，
∵∠2+∠4=∠1+∠3，
∴∠3=∠4，
∴OP∥AD，所以①正确；
∵OP∥AD，
∴∠ADE=∠POE，
∵∠POE+∠COB=180°，∠PCB+∠OCB=180°，
而∠COB≠∠OCB，
∴∠PCB≠∠POE，
∴∠PCB≠∠ADE，
∴不能判断△ADE∽△PCB，所以②错误；
∵OP∥AD，
∴∠EAD=∠EPO，$\frac{EA}{AP}$=$\frac{ED}{DO}$，
∴$\frac{ED}{EA}$=$\frac{DO}{AP}$，
在Rt△AOP中，∵tan∠APO=$\frac{OA}{AP}$，
而OA=OD，
∴tan∠APO=$\frac{OA}{AP}$=$\frac{OD}{AP}$，
∴tan∠EAD=$\frac{ED}{EA}$，所以③正确；
连结AB，如图，∵BD为直径，
∴∠BAD=90°，
∵OP∥AD，
∴∠ADB=∠POB，
∴Rt△ABD∽△BPO，
∴$\frac{AD}{OB}$=$\frac{BD}{OP}$，
∴$\frac{1}{2}$BD•BD=AD•OP，
∴BD²=2AD•OP，所以④正确．
故选A．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．