Question

【题目】如图1，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE＝CD．

（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；

（2）若∠ADC＝60°，BE＝2，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）．

【解析】

（1）首先根据平行四边形的性质和已知条件推出四边形OAEB是矩形，从而得出OA⊥OB，即可得证；

（2）由（1）得四边形OAEB是矩形，四边形ABCD是菱形，从而推出OA=BE=2，∠ODA=∠ODC=30°，由此可得在Rt△OAD中，OD=，即可得出BD．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，

∵OE=CD，

∴AB=OE，

∵AE∥BD，BE∥AC，

∴四边形OAEB是平行四边形，

∴四边形OAEB是矩形，

∴OA⊥OB，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）由（1）可知四边形OAEB是矩形，

∴OA=BE=2，

由（1）得四边形ABCD是菱形，

∴∠ODA=∠ODC，AC⊥BD，

又∵∠ADC＝60°，

∴∠ODA=∠ODC=30°，

∴在Rt△OAD中，OD===，

∴BD=2OD=．