Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=$\frac{3}{5}$，BC=5cm，以点C为圆心，以3cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　）

• A． 相离
• B． 相交
• C． 相切
• D． 相切或相交

Answer 1

分析 利用锐角三角函数关系以及勾股定理得出AC，BC的长，再利用三角形面积求出DC的长，进而利用直线与圆的位置关系得出答案．

解答 解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠C=90°，sinB=$\frac{3}{5}$，
∴设AC=3xcm，AB=5xcm，
故在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
即（3x）²+5²=（5x）²，
解得：x=$\frac{5}{4}$，
则AC=$\frac{15}{4}$cm，AB=$\frac{25}{4}$cm，
故S_△ACB=$\frac{1}{2}$AC×BC=$\frac{1}{2}$DC×AB，
即$\frac{1}{2}$×$\frac{15}{4}$×5=$\frac{1}{2}$×DC×$\frac{25}{4}$，
解得：DC=3，
故以点C为圆心，以3cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是相切．
故选：C．

点评 此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系、三角形面积求法等知识，得出Rt△ABC斜边上的高是解题关键．