Question

2．已知△A′B′C′是由△ABC经过顺时针旋转而得．
（1）试在图中用尺规作图的方法，画出旋转中心O；
（2）如果旋转角为120°，延长AC、C′A′相交于点P，试求∠APA′的大小．

Answer 1

分析 （1）根据对应点的连线段的垂直平分线的交点就是对称中心即可找到对称中心．
（2）由△AOC≌△A′OC′得∠ACO=∠OC′P所以A、O、C′、P四点共圆，所以∠P+∠COC′=180°由此可以求出∠P．

解答 解：（1）如图，连接BB′，AA′，线段BB′、AA′的垂直平分线的交点O就是对称中心．
（2）连接OA、OC、OA′、OB′
∵∠AOA′=∠COC′，
∴∠AOC=∠A′OC′，
在△AOC和△A′OC′中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OA′}\\{∠AOC=∠A′OC′}\\{OC=OC′}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△A′OC′，
∴∠ACO=∠OC′P，
∴A、O、C′、P四点共圆，
∴∠P+∠COC′=180°，
∵∠COC′=120°，
∴∠P=60°．
补充：由∠ACO=∠OC′P，
∴∠ACO+∠PCO=180°，
∴∠OC′P+∠OCP=180°，
∴∠P+∠COC′=180°，
以下相同．

点评 本题考查旋转的有关概念，记住旋转中心是对应点连线段的垂直平分线的交点，第二个问题有难度，需要通过四点共圆去解决．