Question

13．如图，已知直线y=2x+6与x轴、y轴分别交于M，N两点，以OM为边在x轴下方作等边三角形OMP，现将△OMP沿y轴向上平移，当点P恰好落在直线MN上时，点P运动的路程为$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$+3．

Answer 1

分析 易得点P的横坐标为-$\frac{3}{2}$，点P运动到x轴上时，根据等边三角形的性质求得PC的长度；当点P落在直线MN上时，把点P的横坐标代入直线方程求得相应的y值，即P′C的长度，易得点P运动的总路程为CP′+CP．

解答 解：如图，∵直线y=2x+6与x轴、y轴分别交于M，N两点，
∴M（-3，0），N（0，6），
∴OM=3，ON=6．
又∵△OMP是等边三角形，
∴OC=$\frac{3}{2}$，CP=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$．
把x=-$\frac{3}{2}$代入y=2x+6，得
y=2×（-$\frac{3}{2}$）+6=3，即CP′=3，
故点P运动的路程为：CP′+CP=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$+3．
故答案是：$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$+3．

点评 本题考查了轨迹，解题时，利用了等边三角形的性质，一次函数图象与坐标轴的交点以及一次函数图象上点的坐标特征，根据直线方程求得点M、N的坐标是解题的关键．