Question

5．如图，已知AD∥BC，按要求完成下列各小题（保留作图痕迹，不要求写作法）．
（1）用直尺和圆规作出∠BAD的平分线AP，交BC于点P．
（2）在（1）的基础上，若∠APB=55°，求∠B的度数．
（3）在（1）的基础上，E是AP的中点，连接BE并延长，交AD于点F，连接PF．求证：四边形ABPF是菱形．

Answer 1

分析 （1）利用基本作图（作已知角的平分线）作AP平分∠DAB；
（2）先利用平行线的性质得∠DAP=∠APB=55°，再利用角平分线定义得∠BAP=∠DAP=55°，然后根据三角形内角和计算∠ABP的度数；
（2）先由∠BAP=∠APB得到BA=BP，再判断△ABF为等腰三角形得到AB=AF，所以AF=BP，则可判断四边形ABPF是平行四边形，然后加上AB=BP可判断四边形ABPF是菱形．

解答 （1）解：如图，AP为所作；

（2）解：∵AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB=55°，
∵AP平分∠DAB，
∴∠BAP=∠DAP=55°，
∴∠ABP=180°-55°-55°=70°；
（2）证明：∵∠BAP=∠APB，
∴BA=BP，
∵BE=FE，AE平分∠BAF，
∴△ABF为等腰三角形，
∴AB=AF，
∴AF=BP，
而AF∥BP，
∴四边形ABPF是平行四边形，
∵AB=BP，
∴四边形ABPF是菱形．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定．