Question

17．如图，在?ABCD中，连接对角线BD，BE平分∠ABD交AD于点E，DF平分∠BDC交BC于点F．
（1）求证：△AEB≌△CFD；
（2）若BD=BA，试判断四边形DEBF的形状，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，CD∥BA，∠A=∠C，AB=CD，得出∠ABD=∠BDC，由角平分线的定义证出∠DBE=∠FDB，由ASA证明△AEB≌△CFD即可；
（2）先证明四边形DEBF是平行四边形，再根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知BE⊥AD，然后由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得四边形DEBF是矩形即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥BA，∠A=∠C，AB=CD，
∴∠ABD=∠BDC（两直线平行，内错角相等）．
又∵BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，
∴∠ABE=∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠CDF=∠BDF=$\frac{1}{2}$∠BDC，
∴∠DBE=∠FDB=∠DBE=∠BDF（等量代换），
在△AEB和△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\\{∠ABE=∠CDF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CFD（ASA）；
（2）解：四边形DEBF是矩形；理由如下：
由（1）知：∠DBE=∠BDF，
∴BE∥DF，
∵DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
∵BD=BA，BE是∠ABD的平分线，
∴BE⊥AD，
∴∠DEB=90°，
∴四边形DEBF是矩形（有一内角为直角的平行四边形是矩形）．

点评 本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，运用等腰三角形的三线合一性质得出BE⊥AD是解决问题（2）的突破口．