Question

【题目】如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A—B—C—D回到点A，设点P的运动时间为t秒，

(1)当t=3秒时，求BP的长；

(2)当t为何值时，连接BP，AP，△ABP的面积为长方形的面积三分之一？

(3)Q为AD边上的点，且DQ=5，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等？

Answer 1

【答案】(1)2；(2)4秒或8秒；(3)t=2.5秒，4.5秒，7.5秒或9.5秒.

【解析】

（1）当t=3秒时，点P运动到线段BC上，即可得到BP的长度；

（2）由△ABP的面积为长方形的面积三分之一，则分为点P在BC上和点P在AD上两大类进行讨论，即可得到答案；

（3）根据题意，要使得一个三角形与△DCQ全等，则点P的位置可以有四个，即点P分别运动到P1，P2，P3 ，P4时，有△DCP1，△ABP2，△ABP3，△DCP4与△DCQ全等，根据P点运动的位置，即可计算出时间.

解：（1）当t=3秒时，

点P走过的路程为：，

∵AB=4，

∴点P运动到线段BC上，

∴BP=6-4=2；

（2）∵矩形ABCD的面积=，

∴△ABP的面积=，

∵AB=4，

∴△ABP的高为：，

如图：

当点P在BC上时，有BP=4，

∴时间为：s；

当点P在AD上时，有AP=4，

∴时间为：s；

∴当时间t=4s或t=8s时，△ABP的面积为长方形的面积三分之一；

（3）根据题意，如图，连接CQ，有AB=CD=4，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，DQ=5，

∴要使得一个三角形与△DCQ全等，则另一直角边必须等于DQ.

①当点P运动到P1时，CP1=DQ=5，此时△DCQ≌△CDP1，

∴点P的路程为：AB+BP1=4+1=5，

∴时间；

②当点P运动到P2时，BP2= DQ=5，此时△CDQ≌△ABP2，

∴点P的路程为：AB+BP2=4+5=9，

∴时间；

③当点P运动到P3时，AP3= DQ=5，此时△CDQ≌△ABP3，

∴点P的路程为：AB+BC+CD+DP3=4+6+4+1=15，

∴时间；

④当点P运动到P4时，即P与Q重合时，DP4=DQ=5，△CDQ≌△CDP4，

∴点P的路程为：AB+BC+CD+DP4=4+6+4+5=19，

∴时间；

综合上述，时间t的值可以是：t=2.5秒，4.5秒，7.5秒或9.5秒.