Question

【题目】已知关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0.

(1)当m取何值时,此方程有两个不相等的实数根;

(2)当抛物线y=mx2+(3m+1)x+3与x轴两个交点的横坐标均为整数,且m为正整数时,求此抛物线的解析式;

(3)在(2)的条件下,若P(a,y1),Q(1,y2)是此抛物线上的两点,且y1>y2,请结合函数图象直接写出实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)当m≠且m≠0时,方程有两个不相等的实数根；（2）y=x2+4x+3；(3) 当y1>y2时,a>1,或a<-5.

【解析】

（1）根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式进行分析解答即可；

（2）用公式法求得关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0的两根，再结合已知条件求得m的值即可得到抛物线的解析式；

（3）根据（2）中所得抛物线的解析式，画出函数的图象，根据图象结合已知条件即可求得对应的a的取值范围.

(1)由题意可知，Δ=b2-4ac=(3m+1)2-4m×3=(3m-1)2>0，

解得：m≠，

∵mx2+(3m+1)x+3=0是一元二次方程，

∴m≠0，

∴当m≠且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0有两个不相等的实数根；

(2)由一元二次方程的求根公式可解得mx2+(3m+1)x+3=0的两实数根为：x1=-3，x2=.

∵抛物线与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数,

∴m=1,

∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3；

(3)画出函数y=x2+4x+3的图象如下图所示；

当x=1时，y=1+4+3=8，由此可得图中点Q的坐标为（1，8），

过点Q作y轴的垂线，交抛物线于点M，

根据抛物线的对称性，可得点M(-5，8)，

由图象可知,当y1>y2时，a>1，或a<-5.