Question

【题目】如图，二次函数y=+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标；

（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点，连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD、DE，求△BDE的面积．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+6;（2）点D的坐标为（6，0）;（3）7.5．

【解析】分析：（1）利用待定系数法求出b，c即可求出二次函数解析式，
（2）把二次函数式转化可直接求出顶点坐标，由A对称关系可求出点D的坐标．
（3）由待定系数法可求出BC所在的直线解析式，与抛物线组成方程求出点E的坐标，利用△BDE的面积=△CDB的面积+△CDE的面积求出△BDE的面积．

详解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象过A（2，0），B（8，6）

∴，

解得

∴二次函数解析式为：y=x2﹣4x+6，

（2）由y=x2﹣4x+6，得y=（x﹣4）2﹣2，

∴函数图象的顶点坐标为（4，﹣2），

∵点A，D是y=x2+bx+c与x轴的两个交点，

又∵点A（2，0），对称轴为x=4，

∴点D的坐标为（6，0）．

（3）∵二次函数的对称轴交x轴于C点．

∴C点的坐标为（4，0）

∵B（8，6），

设BC所在的直线解析式为y=kx+b′，

∴，

解得，

∴BC所在的直线解析式为y=x﹣6，

∵E点是y=x﹣6与y=x2﹣4x+6的交点，

∴x﹣6=x2﹣4x+6

解得x1=3，x2=8（舍去），

当x=3时，y=﹣，

∴E（3，﹣），

∴△BDE的面积=△CDB的面积+△CDE的面积=×2×6+×2×=7.5．